Questão 165 do ENEM 2014 — Matemática

O primeiro passo é traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática. O ciclista aumenta a distância percorrida a cada dia em uma quantidade constante, chamada de $r$. Isso caracteriza uma Progressão Aritmética (PA).

Vamos organizar os dados:

• A distância do primeiro dia é o primeiro termo: $a_1 = 60 \text{ km}$.
• A distância do último dia é o enésimo termo: $a_n = 180 \text{ km}$.
• A distância total do treinamento é a soma dos termos: $S_n = 1560 \text{ km}$.

O objetivo é encontrar a razão $r$. Mas, para usar a fórmula do termo geral, precisamos antes descobrir por quantos dias ($n$) o ciclista treinou.

Encontrando o número de dias de treino

Usamos a fórmula da soma dos termos de uma PA: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo os valores conhecidos: $1560 = \frac{(60 + 180) \cdot n}{2}$

Resolvendo a soma nos parênteses: $1560 = \frac{240 \cdot n}{2}$

Dividindo $240$ por $2$: $1560 = 120 \cdot n$

Isolando $n$: $n = \frac{1560}{120} = 13$

Ou seja, o ciclista treinou por $13$ dias.

Calculando o aumento diário

Agora que sabemos que $n = 13$, usamos a fórmula do termo geral da PA para encontrar $r$: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores: $180 = 60 + (13 - 1) \cdot r$

Resolvendo a subtração: $180 = 60 + 12 \cdot r$

Subtraindo $60$ dos dois lados: $120 = 12 \cdot r$

Dividindo por $12$: $r = \frac{120}{12} = 10$

Portanto, o ciclista deverá pedalar $10 \text{ km}$ a mais a cada dia.

Alternativa correta: C) 10.