Questão 145 do ENEM 2019 — Matemática

Para entender como resolver essa questão, precisamos primeiro compreender a mecânica básica de uma bicicleta. Quando o ciclista dá uma volta completa nos pedais, a coroa (o disco dianteiro) gira e puxa a corrente. A corrente, por sua vez, faz girar a catraca (o disco traseiro), que está presa à roda.

A distância que a bicicleta avança a cada pedalada depende de quantas voltas a roda traseira dá. O número de voltas da roda traseira é determinado pelo tamanho da catraca: quanto menor for a catraca, mais voltas ela dará para uma mesma quantidade de corrente puxada pela coroa. Portanto, o avanço da bicicleta ($A$) e o diâmetro da catraca ($d$) são grandezas inversamente proporcionais.

Matematicamente, podemos expressar essa relação inversa dizendo que o produto entre o avanço e o diâmetro da catraca é constante para uma mesma coroa: $A_1 \cdot d_1 = A_2 \cdot d_2$

Onde:

• $A_1$ é o avanço inicial com a primeira catraca.
• $d_1$ é o diâmetro da primeira catraca, que sabemos ser $7 \text{ cm}$.
• $A_2$ é o novo avanço desejado com a segunda catraca.
• $d_2$ é o diâmetro da segunda catraca, que queremos descobrir.

O enunciado nos diz que o ciclista quer que a bicicleta avance $50\%$ a mais do que avançaria com a primeira catraca. Isso significa que o novo avanço ($A_2$) será igual ao avanço inicial ($A_1$) mais $50\%$ de $A_1$. Em termos decimais, $50\%$ equivale a $0,5$, então: $A_2 = A_1 + 0,5 \cdot A_1 = 1,5 \cdot A_1$

Agora, substituímos os valores conhecidos na nossa equação de proporção inversa: $A_1 \cdot 7 = (1,5 \cdot A_1) \cdot d_2$

Como $A_1$ aparece multiplicando em ambos os lados da equação, podemos simplificá-lo (dividindo ambos os lados por $A_1$): $7 = 1,5 \cdot d_2$

Para encontrar o valor de $d_2$, isolamos a variável: $d_2 = \frac{7}{1,5}$

Para facilitar as contas, podemos transformar o número decimal $1,5$ na fração $\frac{3}{2}$: $d_2 = \frac{7}{\frac{3}{2}}$

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso: $d_2 = 7 \cdot \frac{2}{3}$ $d_2 = \frac{14}{3}$

Realizando a divisão de $14$ por $3$, obtemos uma dízima periódica: $d_2 \approx 4,666... \text{ cm}$

O comando da questão pede o valor mais próximo com uma casa decimal. Arredondando $4,666...$, chegamos a $4,7 \text{ cm}$.

Isso confirma a nossa lógica inicial: para a bicicleta andar mais rápido (maior avanço), precisamos de uma marcha mais "pesada", ou seja, uma catraca menor que a original de $7 \text{ cm}$.