Questão 143 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos comparar a arrecadação inicial do cinema com a nova arrecadação após a aplicação dos descontos. Vamos fazer isso passo a passo.

1. Arrecadação Inicial

Primeiro, vamos calcular quanto o cinema arrecadava antes da promoção. Sabemos que a ocupação média era de $100$ pessoas, sendo $60$ pagantes de meia-entrada e o restante pagantes do valor inteiro.

• Quantidade de pagantes de meia-entrada: $60$ pessoas
• Quantidade de pagantes de valor inteiro: $100 - 60 = 40$ pessoas

Os valores dos ingressos eram R$ 30,00 (inteira) e R$ 15,00 (meia). Assim, a arrecadação inicial era:

• Inteira: $40 \times 30 = 1\,200$ reais
• Meia: $60 \times 15 = 900$ reais
• Arrecadação total inicial: $1\,200 + 900 = 2\,100$ reais

2. Efeito da Promoção

O administrador notou que a cada R$ 2,00 de desconto na inteira e R$ 1,00 na meia, o público aumentava em $20\%$ (inteira) e $10\%$ (meia).

A promoção aplicada foi de R$ 8,00 de desconto na inteira e R$ 4,00 na meia. Note que esse desconto é exatamente $4$ vezes o desconto da pesquisa inicial ($8 \div 2 = 4$ e $4 \div 1 = 4$).

Como o comportamento se mantém proporcional, os percentuais de aumento de público também serão multiplicados por $4$:

• Aumento no público de inteira: $4 \times 20\% = 80\%$
• Aumento no público de meia: $4 \times 10\% = 40\%$

3. Nova Arrecadação

Agora, vamos calcular os novos valores dos ingressos e as novas quantidades de frequentadores.

Novos preços:

• Inteira: 30 - 8 = R\ 22,00$
• Meia: 15 - 4 = R\ 11,00$

Novo público:

• Inteira: $40$ pessoas $+ 80\%$ de $40 = 40 + 0,8 \times 40 = 40 + 32 = 72$ pessoas
• Meia: $60$ pessoas $+ 40\%$ de $60 = 60 + 0,4 \times 60 = 60 + 24 = 84$ pessoas

(Nota: O novo público total é de $72 + 84 = 156$ pessoas, o que está dentro da capacidade máxima do cinema, que é de $180$ pessoas).

Com esses dados, calculamos a nova arrecadação:

• Inteira: $72 \times 22 = 1\,584$ reais
• Meia: $84 \times 11 = 924$ reais
• Nova arrecadação total: $1\,584 + 924 = 2\,508$ reais

4. Classificação do Sucesso

O sucesso da promoção é medido pelo aumento na arrecadação. Vamos calcular a diferença entre a nova e a antiga arrecadação: $Aumento = 2\,508 - 2\,100 = 408 \text{ reais}$

Olhando para a tabela de classificação fornecida no enunciado:

• fraco: aumento até R$ 500,00
• regular: aumento maior que R$ 500,00 até R$ 800,00
• ...

Como o aumento foi de R$ 408,00, ele se enquadra na categoria fraco.