Questão 163 do ENEM 2014 — Matemática

ENEM 2014Matemática1ª aplicação

Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama, e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

Questão 163 - ENEM 2014

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
A
\(20 \times 8! + (3!)^2\)
\(8! \times 5! \times 3!\)
Resposta correta
C
\[ \frac{8! \times 5! \times 3!}{2^8} \]
D
\( \frac{8! \times 5! \times 3!}{2^2} \)
E
\( \frac{16!}{2^8} \)
Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos entender a sequência de locações que o cliente fará. Ele quer assistir a 1616 filmes alugando 22 por vez. Isso significa que ele irá à locadora exatamente 88 vezes (16÷2=816 \div 2 = 8).

A estratégia dele define exatamente quais gêneros serão alugados em cada uma dessas 88 idas à locadora:

  • Nas primeiras 55 vezes, ele alugará 11 filme de ação e 11 de comédia (esgotando os 55 filmes de comédia).
  • Nas 33 vezes restantes, ele alugará 11 filme de ação e 11 de drama (esgotando os 33 filmes de drama e os 33 filmes de ação que sobraram).

Agora, vamos calcular de quantas formas ele pode escolher os filmes específicos para cada uma dessas idas. Como a ordem em que ele assiste aos filmes ao longo das semanas importa, mas a ordem dos dois filmes dentro de uma mesma locação não (alugar o filme A e o filme B é o mesmo que alugar B e A), podemos pensar nas escolhas separadas por gênero:

Filmes de Ação: Ele precisa escolher 11 filme de ação para cada uma das 88 idas à locadora. Na primeira ida, ele tem 88 opções. Na segunda, 77 opções, e assim por diante, até a oitava ida, onde restará apenas 11 opção. O número de formas de ordenar esses filmes é a permutação de 88 elementos: P8=8!P_8 = 8!

Filmes de Comédia: Ele precisa escolher 11 filme de comédia para cada uma das 55 primeiras idas. Na primeira, tem 55 opções; na segunda, 44, até restar 11 opção na quinta ida. O número de formas de ordenar os filmes de comédia é: P5=5!P_5 = 5!

Filmes de Drama: Ele precisa escolher 11 filme de drama para cada uma das 33 últimas idas. Seguindo a mesma lógica, o número de formas de ordená-los é: P3=3!P_3 = 3!

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, como essas escolhas são independentes e ocorrem sucessivamente, multiplicamos as possibilidades de cada etapa para encontrar o total de formas distintas de colocar a estratégia em prática: Total=8!×5!×3!Total = 8! \times 5! \times 3!

Analisando as alternativas, chegamos à resposta correta.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2014 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.