Questão 157 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir a situação descrita no enunciado para a linguagem matemática, montando um sistema de equações do primeiro grau. Vamos organizar as informações passo a passo.

Definindo as Variáveis

Primeiro, vamos dar nomes aos valores que não conhecemos (os preços originais sem desconto):

• $q$: preço original do cento de quibe.
• $c$: preço original do cento de coxinha.

Montando o Sistema de Equações

Situação 1: O orçamento inicial O cliente faria uma compra de $10$ centos de quibe e $15$ centos de coxinha por um total de R$$680,00$. Podemos escrever isso como a nossa primeira equação: $10q + 15c = 680$

Situação 2: A compra final com descontos O cliente decidiu comprar $20$ centos de quibe e $30$ centos de coxinha. No entanto, ele recebeu descontos:

• Desconto no quibe: $10\%$. Isso significa que ele pagou $100\% - 10\% = 90\%$ do valor original. Em decimal, o novo preço do quibe é $0,9q$.
• Desconto na coxinha: $15\%$. Ele pagou $100\% - 15\% = 85\%$ do valor original. Em decimal, o novo preço da coxinha é $0,85c$.

Sabendo que o total pago nessa nova configuração foi de R$$1.182,00$, montamos a segunda equação multiplicando as novas quantidades pelos preços com desconto: $20 \cdot (0,9q) + 30 \cdot (0,85c) = 1182$

Vamos simplificar essa segunda equação realizando as multiplicações:

• $20 \cdot 0,9 = 18$
• $30 \cdot 0,85 = 25,5$

Assim, a segunda equação fica: $18q + 25,5c = 1182$

Resolvendo o Sistema

Agora temos o seguinte sistema de equações:

1. $10q + 15c = 680$
2. $18q + 25,5c = 1182$

Vamos usar o método da substituição. Isolamos a variável $q$ na primeira equação: $10q = 680 - 15c$ $q = \frac{680 - 15c}{10}$ $q = 68 - 1,5c$

Agora, substituímos esse valor de $q$ na segunda equação: $18(68 - 1,5c) + 25,5c = 1182$

Fazendo a distributiva ($18 \cdot 68$ e $18 \cdot 1,5$): $1224 - 27c + 25,5c = 1182$

Juntando os termos com $c$: $1224 - 1,5c = 1182$

Isolando o $c$: $-1,5c = 1182 - 1224$ $-1,5c = -42$

Multiplicando ambos os lados por $-1$ e passando o $1,5$ dividindo: $1,5c = 42$ $c = \frac{42}{1,5}$ $c = 28$

Descobrimos que o preço original do cento de coxinha ($c$) é R$$28,00$.

Calculando o Valor Final

Muito cuidado nesta etapa! A questão não pede o valor original do cento de coxinha, mas sim o valor que o cliente pagou por ele na compra final (ou seja, com o desconto de $15\%$).

Como vimos na montagem do sistema, o preço pago com desconto é $0,85c$. Basta substituir o valor que encontramos: $\text{Valor pago} = 0,85 \cdot 28$ $\text{Valor pago} = 23,80$

Portanto, o cliente pagou R$$23,80$ pelo cento da coxinha.