Questão 145 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir a maior miniatura possível que cabe dentro da caixa de vidro respeitando as folgas exigidas, e a partir dela calcular a altura total da caixa.

Analisando o espaço disponível na base

A Figura 2 indica que a base interna da caixa de vidro mede $10 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$. O enunciado diz que a base da miniatura deve ficar distante das paredes laterais em pelo menos $1 \text{ cm}$. Como há parede dos dois lados de cada dimensão, descontamos $1 \text{ cm}$ de cada lado, isto é, $2 \text{ cm}$ no total em cada direção:

• Ao longo do lado de $10 \text{ cm}$: $10 - 2 = 8 \text{ cm}$
• Ao longo do lado de $8 \text{ cm}$: $8 - 2 = 6 \text{ cm}$

Assim, a base da miniatura precisa caber dentro de um retângulo útil de $8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$.

Determinando a escala da miniatura

A Figura 1 mostra que a base do troféu original é um quadrado de $50 \text{ cm} \times 50 \text{ cm}$. Como a miniatura é uma redução proporcional, sua base também será quadrada.

Para um quadrado caber no espaço útil de $8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$, seu lado não pode ultrapassar a menor dimensão disponível. Logo, o lado máximo da base da miniatura é $6 \text{ cm}$.

A escala de redução ($E$) é a razão entre a medida da miniatura e a medida real correspondente: $E = \frac{\text{lado da miniatura}}{\text{lado original}} = \frac{6}{50}$

Calculando a altura da caixa

O troféu original tem $100 \text{ cm}$ de altura total. Aplicando a escala, a altura da miniatura ($h$) é: $h = 100 \cdot \frac{6}{50} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}$

Por fim, o enunciado exige exatos $2 \text{ cm}$ entre o topo da esfera da miniatura e a tampa da caixa. Então a altura total da caixa ($H$) é a altura da miniatura mais essa folga: $H = 12 + 2 = 14 \text{ cm}$

A altura da caixa de vidro deverá ser igual a $14 \text{ cm}$, o que corresponde à alternativa B.