Questão 137 do ENEM 2018 — Matemática

A questão pede para encontrarmos qual é a primeira parcela que, se paga antecipadamente junto com a 30ª, terá um desconto superior a 25%.

Para que o desconto seja superior a 25%, o valor a ser pago no momento da antecipação (o valor presente, $P$) precisa ser estritamente menor que 75% do valor original da parcela (o valor futuro, $V$). Ou seja: $P < 0{,}75 \cdot V$

O enunciado fornece a fórmula que relaciona o valor futuro $V$ e o valor presente $P$: $V = P \cdot (1 + i)^n$

Isolando o valor presente $P$: $P = \frac{V}{(1 + i)^n}$

Substituindo essa expressão na inequação: $\frac{V}{(1 + i)^n} < 0{,}75 \cdot V$

Como o valor da parcela é positivo (R$ 820,00), podemos dividir ambos os lados por $V$, o que simplifica bastante (nem precisaremos usar o valor de R$ 820,00): $\frac{1}{(1 + i)^n} < 0{,}75$

Sabemos que $0{,}75 = \frac{3}{4}$. Além disso, a taxa de juros de 1,32% ao mês corresponde a $i = 0{,}0132$. Substituindo: $\frac{1}{(1{,}0132)^n} < \frac{3}{4}$

Invertendo as duas frações — e lembrando que, ao inverter os dois lados de uma inequação com termos positivos, o sinal da desigualdade também se inverte: $(1{,}0132)^n > \frac{4}{3}$

Agora precisamos encontrar o expoente $n$. Para trazê-lo para baixo, aplicamos o logaritmo natural ($\ln$) em ambos os lados: $\ln\left((1{,}0132)^n\right) > \ln\left(\frac{4}{3}\right)$

Pela propriedade $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, o expoente $n$ passa multiplicando: $n \cdot \ln(1{,}0132) > \ln\left(\frac{4}{3}\right)$

O enunciado deu as aproximações $\ln(1{,}0132) \approx 0{,}0131$ e $\ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}2877$. Substituindo: $n \cdot 0{,}0131 > 0{,}2877$ $n > \frac{0{,}2877}{0{,}0131}$

Como os dois números têm quatro casas decimais, multiplicamos numerador e denominador por 10.000 para eliminar a vírgula: $n > \frac{2877}{131}$

Fazendo a divisão: $\frac{2877}{131} \approx 21{,}96$

Como $n$ é o número de meses de antecipação e deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz $n > 21{,}96$ é $n = 22$.

Ou seja, a parcela precisa ser antecipada em, no mínimo, 22 meses para que o desconto seja superior a 25%. Como o pagamento será feito junto com a 30ª parcela, somamos esse tempo de antecipação: $\text{Parcela} = 30 + 22 = 52$

Portanto, a primeira parcela que poderá ser antecipada nessas condições é a 52ª, alternativa C.