Questão 180 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender a área que o cortador de grama consegue alcançar atualmente e, em seguida, calcular o que é necessário para dobrar essa área.

Área atual de corte

O enunciado nos diz que o cabo de energia mede $5\text{ m}$ e a lâmina do cortador tem $1\text{ m}$ de largura. Como o cabo está fixo em uma tomada, a região máxima que o cortador alcança forma um círculo. O raio desse círculo ($R_1$) é a soma do comprimento do cabo com a largura da lâmina:

$R_1 = 5\text{ m} + 1\text{ m} = 6\text{ m}$

A área de um círculo é dada pela fórmula $A = \pi \cdot R^2$. Portanto, a área cortada atualmente ($A_1$) é:

$A_1 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\text{ m}^2$

Nova área de corte

O objetivo é usar um cabo extensor para que a nova área de corte ($A_2$) seja o dobro da área atual. Assim, temos:

$A_2 = 2 \cdot A_1$ $A_2 = 2 \cdot 36\pi = 72\pi\text{ m}^2$

Agora, precisamos descobrir qual deve ser o novo raio ($R_2$) para que o círculo tenha essa área de $72\pi\text{ m}^2$:

$\pi \cdot (R_2)^2 = 72\pi$ $(R_2)^2 = 72$ $R_2 = \sqrt{72}$

Podemos simplificar essa raiz fatorando o número $72$ (que é $36 \cdot 2$):

$R_2 = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\text{ m}$

Comprimento do cabo extensor

O novo raio $R_2$ será formado pela soma do cabo original ($5\text{ m}$), do cabo extensor (que chamaremos de $x$) e da largura da lâmina ($1\text{ m}$):

$R_2 = 5 + x + 1$ $R_2 = x + 6$

Igualando as duas expressões que encontramos para $R_2$:

$x + 6 = 6\sqrt{2}$ $x = 6\sqrt{2} - 6$ $x = 6(\sqrt{2} - 1)$

Para encontrar o valor aproximado, usamos a aproximação comum para a raiz de 2, que é $\sqrt{2} \approx 1,41$:

$x \approx 6 \cdot (1,41 - 1)$ $x \approx 6 \cdot 0,41$ $x \approx 2,46\text{ m}$

Arredondando para a primeira casa decimal, como sugerem as alternativas, obtemos aproximadamente $2,5\text{ m}$.