Questão 154 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de a segunda peça cair na zona de combate da primeira e, em seguida, garantir que essa probabilidade seja menor que $\frac{1}{5}$.

Analisando o tabuleiro e a zona de combate

O tabuleiro tem dimensões $n \times n$, o que significa que ele possui um total de $n^2$ casas.

Quando o primeiro jogador coloca sua peça em uma casa, sobram $n^2 - 1$ casas vazias no tabuleiro. Esse é o nosso espaço amostral, ou seja, o número total de lugares onde a segunda peça pode ser colocada aleatoriamente.

Agora, vamos descobrir quantas dessas casas vazias fazem parte da zona de combate. A regra diz que a zona de combate é formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna da peça.

• A linha onde a peça está tem $n$ casas.
• A coluna onde a peça está também tem $n$ casas.

Se somarmos as casas da linha e da coluna, teremos $n + n = 2n$. Porém, a casa onde a própria peça está foi contada duas vezes (uma na linha e outra na coluna). Portanto, o total de casas na zona de combate é $2n - 1$.

Como a segunda peça só pode ser colocada em uma casa vazia, precisamos descontar a casa que já está ocupada pela primeira peça. Assim, o número de casas vazias na zona de combate é: $(2n - 1) - 1 = 2n - 2$

Calculando a probabilidade

A probabilidade $P$ de a segunda peça ser colocada na zona de combate é a razão entre o número de casas vazias na zona de combate (casos favoráveis) e o número total de casas vazias no tabuleiro (casos possíveis): $P = \frac{2n - 2}{n^2 - 1}$

Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador e o denominador. No numerador, colocamos o $2$ em evidência: $2n - 2 = 2(n - 1)$

No denominador, temos um produto notável (diferença de quadrados), que pode ser fatorado como: $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Substituindo na fração, temos: $P = \frac{2(n - 1)}{(n - 1)(n + 1)}$

Como $n \geq 2$, sabemos que $n - 1 \neq 0$, então podemos simplificar a fração cancelando o termo $(n - 1)$: $P = \frac{2}{n + 1}$

Encontrando a dimensão mínima

O enunciado exige que essa probabilidade seja estritamente inferior a $\frac{1}{5}$. Montamos então a seguinte inequação: $\frac{2}{n + 1} < \frac{1}{5}$

Como $n$ é um número positivo (pois representa a dimensão do tabuleiro), $n + 1$ também é positivo. Isso nos permite multiplicar cruzado sem nos preocuparmos em inverter o sinal da desigualdade: $2 \cdot 5 < 1 \cdot (n + 1)$ $10 < n + 1$ $n > 10 - 1$ $n > 9$

Como $n$ deve ser um número inteiro (não existe dimensão fracionária para o número de casas de um tabuleiro) e estritamente maior que $9$, o menor valor possível que $n$ pode assumir é $10$.

Portanto, a dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é $10 \times 10$.