Questão 143 do ENEM 2020 — Matemática

Para descobrir o número de jogos em que houve um ganhador, precisamos primeiro determinar o número total de partidas disputadas no campeonato.

O campeonato possui $20$ times e é disputado em dois turnos. Isso significa que cada time joga contra todos os outros $19$ times duas vezes (uma no primeiro turno e outra no segundo).

Podemos calcular o total de jogos pensando que cada um dos $20$ times entra em campo $19$ vezes em cada turno. Como cada partida envolve $2$ times, se multiplicarmos $20 \times 19$, já estaremos contando os jogos de ida e volta (pois o jogo entre o time A e o time B será contado quando analisarmos os jogos do time A e novamente quando analisarmos os jogos do time B). Portanto, o número total de jogos é dado por um arranjo simples:

$A_{20,2} = 20 \times 19 = 380 \text{ jogos}$

Outra forma de pensar é calcular o número de jogos de apenas um turno usando combinação, já que a ordem dos times não importa em um único jogo:

$C_{20,2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \text{ jogos}$

Como são dois turnos, multiplicamos esse valor por $2$, resultando em $190 \times 2 = 380$ jogos no total.

Sabemos que em cada partida só existem duas possibilidades de resultado em relação ao vencedor: ou o jogo termina empatado, ou há um time ganhador. Assim, a soma dos jogos que terminaram em empate com os jogos em que houve ganhador deve ser igual ao total de partidas do campeonato.

O enunciado nos diz que ocorreram $126$ empates. Logo, para encontrar o número de jogos com ganhador, basta subtrair a quantidade de empates do total de jogos:

$\text{Jogos com ganhador} = 380 - 126 = 254$

Portanto, houve ganhador em $254$ partidas.