Questão 167 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos lembrar como se calcula o volume de prismas e cilindros. Em ambos os casos, o volume ($V$) é dado pelo produto da área da base ($A_b$) pela altura ($h$):

$V = A_b \cdot h$

O enunciado nos diz que todos os cinco modelos de piscina possuem a mesma profundidade, ou seja, a mesma altura de $h = 2\text{ m}$. Como o empresário deseja escolher o modelo de menor volume, e a altura é igual para todos, basta encontrarmos qual modelo possui a menor área da base.

Vamos calcular a área da base para cada um dos modelos apresentados, utilizando as aproximações dadas: $\sqrt{3} \approx 1,7$ e $\pi \approx 3$.

Modelo I: Prisma triangular

A base é um triângulo com lados medindo $5\text{ m}$, $12\text{ m}$ e $13\text{ m}$. Note que essas medidas formam um triângulo retângulo, pois satisfazem o Teorema de Pitágoras: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Em um triângulo retângulo, os catetos ($5\text{ m}$ e $12\text{ m}$) funcionam como base e altura. Assim, a área da base é: $A_I = \frac{5 \cdot 12}{2} = \frac{60}{2} = 30\text{ m}^2$

Modelo II: Prisma triangular regular

A base é um triângulo equilátero (pois o prisma é regular) com lado $l = 10\text{ m}$. A fórmula da área do triângulo equilátero é: $A_{II} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Substituindo os valores: $A_{II} = \frac{10^2 \cdot 1,7}{4} = \frac{100 \cdot 1,7}{4} = \frac{170}{4} = 42,5\text{ m}^2$

Modelo III: Prisma quadrangular regular

A base é um quadrado com lado $l = 6\text{ m}$. A área do quadrado é simplesmente o lado ao quadrado: $A_{III} = 6^2 = 36\text{ m}^2$

Modelo IV: Prisma hexagonal regular

A base é um hexágono regular com lado $l = 6\text{ m}$. Um hexágono regular pode ser dividido em $6$ triângulos equiláteros. Portanto, sua área é $6$ vezes a área de um triângulo equilátero: $A_{IV} = 6 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Substituindo os valores: $A_{IV} = 6 \cdot \frac{6^2 \cdot 1,7}{4} = 6 \cdot \frac{36 \cdot 1,7}{4} = 6 \cdot 9 \cdot 1,7 = 54 \cdot 1,7 = 91,8\text{ m}^2$

Modelo V: Cilindro circular reto

A base é um círculo com raio $r = 5\text{ m}$. A área do círculo é dada por: $A_V = \pi \cdot r^2$

Substituindo os valores: $A_V = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75\text{ m}^2$

Conclusão

Comparando as áreas das bases calculadas:

• Modelo I: $30\text{ m}^2$
• Modelo II: $42,5\text{ m}^2$
• Modelo III: $36\text{ m}^2$
• Modelo IV: $91,8\text{ m}^2$
• Modelo V: $75\text{ m}^2$

A menor área da base é a do Modelo I ($30\text{ m}^2$). Consequentemente, este será o modelo com o menor volume.