Questão 172 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos garantir que a pressão interna da máquina, $P$, não ultrapasse $10$ atmosferas em nenhum momento durante as $10$ horas de funcionamento contínuo. Ou seja, o valor máximo de $P$ no intervalo de tempo $0 \le t \le 10$ deve ser menor ou igual a $10$.

A expressão da pressão é dada por: $P = 4 \cdot \log[-K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]$

Como a função logarítmica (na base $10$) é estritamente crescente, a pressão $P$ será máxima quando a expressão dentro do logaritmo atingir o seu valor máximo. Vamos analisar essa expressão interna, que chamaremos de $f(t)$: $f(t) = -K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)$

Podemos encontrar as raízes dessa função igualando os termos entre parênteses a zero, o que nos dá $t = -1$ e $t = 19$.

Note que $f(t)$ é uma função quadrática (uma parábola). Como o parâmetro $K$ é positivo, o coeficiente que multiplicaria $t^2$ (que é $-K$) é negativo. Isso significa que a parábola tem concavidade para baixo e, portanto, possui um ponto de máximo no seu vértice.

O tempo $t$ em que esse máximo ocorre é o $x$ do vértice ($t_v$), que fica exatamente no ponto médio entre as duas raízes: $t_v = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ horas}$

Como a máquina funciona continuamente por $10$ horas (de $t = 0$ a $t = 10$), o instante $t = 9$ está dentro do período de funcionamento. Logo, a pressão máxima atingida pela máquina ocorrerá exatamente na nona hora.

Vamos calcular o valor da expressão interna nesse instante substituindo $t = 9$: $f(9) = -K \cdot (9 + 1) \cdot (9 - 19)$ $f(9) = -K \cdot (10) \cdot (-10) = 100K$

Agora, substituímos esse valor máximo na fórmula da pressão e impomos a condição do fabricante de que a pressão não deve ultrapassar $10\text{ atm}$: $P_{\text{máx}} = 4 \cdot \log(100K) \le 10$

Dividindo ambos os lados por $4$: $\log(100K) \le \frac{10}{4}$ $\log(100K) \le 2,5$

Lembrando que o logaritmo sem base indicada está na base $10$, aplicamos a definição de logaritmo para reescrever a inequação na forma exponencial: $100K \le 10^{2,5}$

Sabendo que $100 = 10^2$, temos: $10^2 \cdot K \le 10^{2,5}$

Isolando o $K$: $K \le \frac{10^{2,5}}{10^2}$

Pela propriedade de divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes: $K \le 10^{2,5 - 2}$ $K \le 10^{0,5}$

Portanto, para que a pressão nunca ultrapasse $10\text{ atm}$ durante as $10$ horas de uso, o maior valor possível que o empresário pode escolher para o parâmetro $K$ é $10^{0,5}$.