Questão 136 do ENEM 2017 — Matemática

ENEM 2017Matemática1ª aplicação

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
\( P \left[ 1 + \frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)} + \frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2} \right] \)
Resposta correta
B
\[ P \left[ 1 + \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)} + \frac{1}{\left(1 + \frac{2i}{100}\right)} \right] \]
C
\(P \left[ 1 + \frac{1}{\left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2} + \frac{1}{\left( 1 - \frac{i}{100} \right)^2} \right]\)
D
\( P \left[ \frac{1}{(1+\frac{i}{100})} + \frac{1}{(1+\frac{2i}{100})} + \frac{1}{(1+\frac{3i}{100})} \right] \)
E
\[ P \left[ \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)} + \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^2} + \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^3} \right] \]
Gabarito oficial: alternativa A

Resolução comentada

Para resolver essa questão, precisamos entender como funciona a antecipação de parcelas em um regime de juros compostos. O conceito fundamental aqui é o de valor presente (ou valor atual). Quando pagamos uma dívida antes do vencimento, os juros que seriam cobrados no período restante devem ser descontados.

O empréstimo foi dividido em 88 parcelas fixas de valor PP. O devedor já pagou as 55 primeiras parcelas normalmente. No momento de pagar a 6a6^{\text{a}} parcela, ele decide quitar o restante da dívida. Isso significa que, nesse exato momento, ele vai pagar a 6a6^{\text{a}} parcela e antecipar o pagamento da 7a7^{\text{a}} e da 8a8^{\text{a}} parcelas.

Vamos analisar o valor a ser pago por cada uma dessas três parcelas no momento da quitação:

A 6a6^{\text{a}} parcela: Como ela está sendo paga exatamente no dia do seu vencimento, não há antecipação. Portanto, o valor pago por ela é o próprio valor da parcela, ou seja, PP.

A 7a7^{\text{a}} parcela: Esta parcela está sendo paga com 11 mês de antecedência. Para encontrar o seu valor atual, precisamos "descontar" os juros de 11 mês. A fórmula do valor presente em juros compostos é dada por dividir o valor futuro pelo fator de correção (1+j)n(1 + j)^n, onde jj é a taxa unitária e nn é o tempo de antecipação. Como a taxa é de i%i\%, a taxa unitária é i100\frac{i}{100}. Assim, o valor atual da 7a7^{\text{a}} parcela é: P(1+i100)1\frac{P}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^1}

A 8a8^{\text{a}} parcela: Esta parcela está sendo paga com 22 meses de antecedência (do mês 88 para o mês 66). Portanto, precisamos descontar os juros correspondentes a 22 meses, elevando o fator de correção ao quadrado: P(1+i100)2\frac{P}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^2}

O valor total pago pela quitação do empréstimo será a soma dos valores atuais dessas três parcelas: Total=P+P(1+i100)+P(1+i100)2\text{Total} = P + \frac{P}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)} + \frac{P}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^2}

Para finalizar, podemos colocar o valor PP em evidência para chegar à expressão apresentada nas alternativas: Total=P[1+1(1+i100)+1(1+i100)2]\text{Total} = P \left[ 1 + \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)} + \frac{1}{\left(1 + \frac{i}{100}\right)^2} \right]

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa A.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2017 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.