Questão 168 do ENEM 2025 — Matemática

ENEM 2025MatemáticaBelém

Um engenheiro é responsável por acompanhar o processo de controle de produção de uma fábrica de parafusos. Esse processo é considerado sob controle se o comprimento $C$ dos parafusos satisfizer $M - 3d \le C \le M + 3d$ sendo $M$ a média dos comprimentos e $d$ o desvio padrão dos comprimentos dos parafusos. Na última coleta de dados em que o processo foi considerado sob controle, foram obtidos $M = 5,0\text{ cm}$ e $d = 1,2\text{ cm}$.

Com a chegada de uma nova máquina, a variabilidade dos comprimentos dos parafusos foi reduzida, e o processo foi considerado sob controle. A média dos comprimentos dos parafusos produzidos por essa nova máquina foi $5,6\text{ cm}$, e nenhum desses parafusos teve comprimento menor que a medida mínima, nem maior que a medida máxima dos parafusos produzidos pela máquina anterior.

O desvio padrão, em centímetro, para o novo intervalo deverá ser, no máximo,
A
0,60.
1,00.
Resposta correta
C
1,12.
D
1,2.
E
1,80.
Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

Para resolvermos essa questão, precisamos primeiro entender como funciona o intervalo de controle de produção da fábrica. O enunciado nos diz que o comprimento CC dos parafusos deve estar dentro do intervalo definido por M−3d≤C≤M+3dM - 3d \le C \le M + 3d, onde MM é a média e dd é o desvio padrão.

Analisando a máquina anterior

Na última coleta da máquina antiga, tínhamos os seguintes dados:

  • Média (MM): 5,0 cm5,0\text{ cm}
  • Desvio padrão (dd): 1,2 cm1,2\text{ cm}

Com isso, podemos calcular as medidas mínima e máxima aceitas para os parafusos dessa máquina:

  • Medida mínima: M−3d=5,0−3(1,2)=5,0−3,6=1,4 cmM - 3d = 5,0 - 3(1,2) = 5,0 - 3,6 = 1,4\text{ cm}
  • Medida máxima: M+3d=5,0+3(1,2)=5,0+3,6=8,6 cmM + 3d = 5,0 + 3(1,2) = 5,0 + 3,6 = 8,6\text{ cm}

Portanto, os parafusos da máquina antiga variavam de 1,4 cm1,4\text{ cm} a 8,6 cm8,6\text{ cm}.

Analisando a nova máquina

Com a nova máquina, o processo continua sob controle, mas temos uma nova média e um novo desvio padrão (que chamaremos de d′d'):

  • Nova média (M′M'): 5,6 cm5,6\text{ cm}

O enunciado afirma que nenhum parafuso da nova máquina teve comprimento menor que a medida mínima, nem maior que a medida máxima da máquina anterior. Isso significa que o novo intervalo de controle deve estar totalmente contido dentro do intervalo antigo [1,4 cm;8,6 cm][1,4\text{ cm}; 8,6\text{ cm}].

Podemos traduzir isso em duas inequações:

1. O novo limite inferior deve ser maior ou igual ao limite inferior antigo: M′−3d′≥1,4M' - 3d' \ge 1,4 5,6−3d′≥1,45,6 - 3d' \ge 1,4 5,6−1,4≥3d′5,6 - 1,4 \ge 3d' 4,2≥3d′4,2 \ge 3d' d′≤4,23d' \le \frac{4,2}{3} d′≤1,4 cmd' \le 1,4\text{ cm}

2. O novo limite superior deve ser menor ou igual ao limite superior antigo: M′+3d′≤8,6M' + 3d' \le 8,6 5,6+3d′≤8,65,6 + 3d' \le 8,6 3d′≤8,6−5,63d' \le 8,6 - 5,6 3d′≤3,03d' \le 3,0 d′≤3,03d' \le \frac{3,0}{3} d′≤1,0 cmd' \le 1,0\text{ cm}

Conclusão

Para que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente, o novo desvio padrão d′d' deve ser menor ou igual a 1,4 cm1,4\text{ cm} e menor ou igual a 1,0 cm1,0\text{ cm}. A condição mais restritiva é a segunda, logo, devemos ter: d′≤1,0 cmd' \le 1,0\text{ cm}

Assim, o valor máximo que o novo desvio padrão pode assumir é 1,00 cm1,00\text{ cm}.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2025 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.