Questão 171 do ENEM 2025 — Matemática

Compreendendo o problema

A planta mostra uma escada em zigue-zague entre dois pisos paralelos (o piso inferior e o piso superior). Nos vértices da figura estão indicados três ângulos — $32^\circ$, $67^\circ$ e $65^\circ$ — e queremos a medida do ângulo obtuso $x$, formado entre a última rampa e o piso superior.

Como os dois pisos são retas paralelas cortadas por segmentos transversais, a ferramenta ideal é traçar retas horizontais auxiliares (paralelas aos pisos) em cada vértice e usar os ângulos alternos internos.

Transportando as inclinações vértice a vértice

Usando os valores indicados na figura ($32^\circ$ na base, $67^\circ$ e $65^\circ$ nos vértices intermediários):

Vértice do ângulo de $67^\circ$. A primeira rampa parte do piso inferior com inclinação de $32^\circ$. Traçando uma horizontal por esse vértice, o ângulo de $32^\circ$ reaparece embaixo por alternos internos. Como o ângulo total do vértice é $67^\circ$, a parte de cima vale a diferença: $67^\circ - 32^\circ = 35^\circ$ Ou seja, a segunda rampa sobe a $35^\circ$ da horizontal.

Vértice do ângulo de $65^\circ$. Repetindo o processo, a horizontal traçada aqui faz o $35^\circ$ reaparecer embaixo. Assim, a parte de cima do ângulo de $65^\circ$ é: $65^\circ - 35^\circ = 30^\circ$ Logo, a última rampa chega ao piso superior a $30^\circ$ da horizontal.

No piso superior (ângulo $x$). O ângulo agudo entre a última rampa e o piso superior é esse mesmo $30^\circ$ (alternos internos). O ângulo $x$ marcado na figura é o suplementar dele, pois juntos completam um ângulo raso: $x + 30^\circ = 180^\circ \implies x = 150^\circ$

Conferindo pelo Teorema dos Bicos

Há um atalho clássico para caminhos em zigue-zague entre paralelas: a soma dos ângulos que "apontam" para um lado é igual à soma dos que apontam para o outro. Tomando os ângulos agudos entre as paralelas: $32^\circ + 65^\circ = 67^\circ + (180^\circ - x)$ $97^\circ = 247^\circ - x \implies x = 150^\circ$

Os dois caminhos levam ao mesmo valor. A medida do ângulo $x$ é $150^\circ 00'$.

A resposta é a alternativa E.