Questão 142 do ENEM 2014 — Matemática

A questão nos diz que o índice de popularidade de um estudante é a razão entre o número de admiradores e o número de visitantes do seu perfil. Esse índice é dado pelo número decimal periódico $0,3121212...$. Nosso objetivo é descobrir qual fração representa essa razão, ou seja, precisamos encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica.

Para transformar uma dízima periódica composta em fração, podemos usar um método algébrico simples. Vamos chamar o nosso número de $x$:

$x = 0,3121212...$

Observe que a parte decimal possui um algarismo que não se repete (o $3$) e uma parte que se repete (o período $12$).

Primeiro, multiplicamos a equação por $10$ para deslocar a vírgula logo após a parte não periódica:

$10x = 3,121212...$

Agora, precisamos de outra equação onde a vírgula esteja logo após o primeiro período. Como o período tem dois algarismos ($12$), multiplicamos a equação original por $1000$ (ou a segunda equação por $100$):

$1000x = 312,121212...$

O próximo passo é subtrair a primeira equação da segunda. Isso fará com que a parte decimal infinita seja cancelada:

$1000x - 10x = 312,121212... - 3,121212...$ $990x = 309$

Isolando o $x$, obtemos a fração:

$x = \frac{309}{990}$

Agora, precisamos simplificar essa fração para encontrar a resposta entre as alternativas. Notamos que tanto o numerador quanto o denominador são divisíveis por $3$ (a soma dos algarismos de $309$ é $12$, e de $990$ é $18$, ambos múltiplos de $3$):

$x = \frac{309 \div 3}{990 \div 3} = \frac{103}{330}$

Isso significa que a razão é de $103$ admiradores para cada $330$ pessoas que visitam o perfil. Analisando as alternativas, essa proporção corresponde à alternativa A.