Questão 159 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolvermos esse problema, o primeiro passo é observar o comportamento dos dados fornecidos na tabela. Note que, à medida que o número de bolas ($x$) aumenta, o nível da água ($y$) também aumenta de forma constante.

Quando passamos de $5$ para $10$ bolas (um aumento de $5$ bolas), o nível da água sobe de $6,35\text{ cm}$ para $6,70\text{ cm}$ (um aumento de $0,35\text{ cm}$). O mesmo ocorre quando passamos de $10$ para $15$ bolas: o nível sobe novamente $0,35\text{ cm}$. Esse crescimento constante nos indica que estamos lidando com uma função do 1º grau (ou função afim), cuja lei de formação é dada por:

$y = ax + b$

Nesta equação, temos dois coeficientes importantes para descobrir:

• O coeficiente angular ($a$): representa a taxa de variação, ou seja, o quanto o nível da água sobe para cada $1$ bola adicionada.
• O coeficiente linear ($b$): representa o valor inicial, ou seja, o nível da água no copo antes de qualquer bola ser colocada ($x = 0$).

Encontrando a equação

Podemos descobrir os valores de $a$ e $b$ montando um sistema de equações com dois pontos da tabela. Vamos escolher os pares $(x=5, y=6,35)$ e $(x=10, y=6,70)$.

Substituindo esses valores na fórmula $y = ax + b$, obtemos:

1. Para $5$ bolas: $5a + b = 6,35$
2. Para $10$ bolas: $10a + b = 6,70$

Agora, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases} 5a + b = 6,35 \\ 10a + b = 6,70 \end{cases}$

Uma maneira simples de resolver esse sistema é pelo método da subtração. Vamos subtrair a primeira equação da segunda:

$(10a + b) - (5a + b) = 6,70 - 6,35$ $10a - 5a + b - b = 0,35$ $5a = 0,35$ $a = \frac{0,35}{5}$ $a = 0,07$

Isso significa que cada bola de vidro faz o nível da água subir exatamente $0,07\text{ cm}$.

Agora que sabemos o valor de $a$, podemos substituí-lo em qualquer uma das equações iniciais para encontrar o $b$. Vamos usar a primeira equação:

$5(0,07) + b = 6,35$ $0,35 + b = 6,35$ $b = 6,35 - 0,35$ $b = 6$

Isso nos mostra que, antes de colocarmos qualquer bola no copo, a água já estava na marca de $6\text{ cm}$.

Conclusão

Substituindo os valores de $a$ e $b$ que encontramos na estrutura da função do 1º grau, chegamos à expressão algébrica final:

$y = 0,07x + 6$

Atenção a uma armadilha comum: muitos alunos poderiam simplesmente dividir $6,35$ por $5$, encontrando $1,27$, e marcariam a alternativa C ($y = 1,27x$). Esse erro acontece quando se ignora que o copo já tinha água inicialmente (o nosso $b = 6$). A relação não é uma proporção direta desde o zero.

Portanto, a expressão correta que relaciona o nível da água com o número de bolas é a apresentada na alternativa E.