Questão 173 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver este problema, precisamos comparar as dimensões das duas embalagens, calcular a área coberta pelo rótulo em cada caso e, a partir disso, determinar o novo custo.

1. Volume da embalagem original

A embalagem original é um cilindro com diâmetro da base de $4\text{ cm}$ e altura de $13,5\text{ cm}$. Como o raio é a metade do diâmetro, temos $R_1 = 2\text{ cm}$ e $h_1 = 13,5\text{ cm}$.

O volume de um cilindro é a área da base multiplicada pela altura: $V = \pi \cdot R^2 \cdot h$

Substituindo: $V_1 = \pi \cdot (2)^2 \cdot 13,5 = \pi \cdot 4 \cdot 13,5 = 54\pi\text{ cm}^3$

2. Dimensões da nova embalagem

A nova embalagem também é cilíndrica e tem a mesma capacidade, ou seja, $V_2 = 54\pi\text{ cm}^3$. Além disso, o diâmetro da base é igual à altura. Como o diâmetro é $2R_2$, a nova altura é $h_2 = 2R_2$.

Substituindo na fórmula do volume: $54\pi = \pi \cdot R_2^2 \cdot (2R_2)$ $54\pi = 2\pi \cdot R_2^3$

Dividindo ambos os lados por $2\pi$: $R_2^3 = 27 \Rightarrow R_2 = \sqrt[3]{27} = 3\text{ cm}$

Como a altura é o dobro do raio: $h_2 = 2 \cdot 3 = 6\text{ cm}$

3. Área do rótulo e custo

O rótulo cobre a área lateral do cilindro, dada por: $A_L = 2\pi \cdot R \cdot h$

Calculando para as duas embalagens:

• Original: $A_{L1} = 2\pi \cdot 2 \cdot 13,5 = 54\pi\text{ cm}^2$
• Nova: $A_{L2} = 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 36\pi\text{ cm}^2$

A redução da área do rótulo é: $\Delta A = 54\pi - 36\pi = 18\pi\text{ cm}^2$

Essa redução, em relação à área original de $54\pi$, representa: $\text{Redução} = \frac{18\pi}{54\pi} = \frac{1}{3}$

Ou seja, houve redução de $\frac{1}{3}$ na superfície coberta pelo rótulo, então a nova área é $\frac{2}{3}$ da original. Como o custo é proporcional à área, o novo valor será $\frac{2}{3}$ do custo antigo: $\text{Novo custo} = \frac{2}{3} \cdot 0,60 = 0,40$

Portanto, o fabricante pagará R$ 0,40 pelo novo rótulo, pois houve uma redução de $\frac{1}{3}$ na superfície coberta por ele, o que corresponde à alternativa B.