Questão 142 do ENEM 2014 — Matemática

A questão aborda o conceito de pavimentação (ou ladrilhamento) do plano. Para que um polígono regular possa ser usado como piso de forma a cobrir totalmente uma superfície plana, sem deixar buracos ou sobreposições, é necessário que várias dessas peças se encaixem perfeitamente ao redor de um único vértice (ponto de encontro).

Isso significa que a soma dos ângulos internos dos polígonos que se encontram em um vértice deve ser exatamente igual a $360^\circ$. Consequentemente, a medida do ângulo interno do polígono regular escolhido deve ser um divisor exato de $360^\circ$.

A fórmula para calcular o ângulo interno ($A_i$) de um polígono regular de $n$ lados é: $A_i = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$

Vamos analisar os polígonos citados nas alternativas:

• Triângulo equilátero ($n = 3$): $A_i = \frac{(3 - 2) \cdot 180^\circ}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$ Como $\frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$, é possível encaixar exatamente $6$ triângulos ao redor de um vértice. Logo, o triângulo serve.

• Pentágono regular ($n = 5$): $A_i = \frac{(5 - 2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$ Como $\frac{360^\circ}{108^\circ} \approx 3,33$, não é uma divisão exata. O pentágono não serve.

• Hexágono regular ($n = 6$): $A_i = \frac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$ Como $\frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$, é possível encaixar exatamente $3$ hexágonos ao redor de um vértice. Logo, o hexágono serve.

• Heptágono regular ($n = 7$): $A_i = \frac{(7 - 2) \cdot 180^\circ}{7} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{7} \approx 128,57^\circ$ Não é um divisor de $360^\circ$. O heptágono não serve.

• Octógono regular ($n = 8$): $A_i = \frac{(8 - 2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$ Como $\frac{360^\circ}{135^\circ} \approx 2,66$, também não é uma divisão exata. O octógono não serve.

Dessa forma, os únicos polígonos regulares entre as opções que podem ser usados para revestir o piso perfeitamente são o triângulo e o hexágono (além do quadrado, que não foi listado nas alternativas).

Portanto, a alternativa correta é a que contém o triângulo e o hexágono.