Questão 146 do ENEM 2024 — Matemática

O problema nos pede para encontrar a medida do maior lado de um galinheiro retangular, de modo que sua área seja a maior possível, respeitando um orçamento máximo para a compra das telas de cercamento.

Primeiro, vamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática. O galinheiro tem formato retangular com lados medindo $L$ e $C$. Como é um retângulo, ele possui dois lados de medida $L$ e dois lados de medida $C$.

O custo da tela para os lados de comprimento $L$ é de R$ 20,00 por metro. Logo, o custo total para cercar esses dois lados será: $2 \cdot L \cdot 20 = 40L$

Já a tela para os lados de comprimento $C$ custa R$ 15,00 por metro. O custo para cercar esses dois lados será: $2 \cdot C \cdot 15 = 30C$

O fazendeiro tem um orçamento máximo de R$ 6000,00. Para maximizar a área, ele deve usar todo o orçamento disponível. Assim, podemos montar a equação do custo total: $40L + 30C = 6000$

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $10$: $4L + 3C = 600$

O objetivo do fazendeiro é maximizar a área ($A$) do galinheiro, que é dada pela multiplicação de suas dimensões: $A = L \cdot C$

Para encontrar a área máxima, precisamos expressar a área em função de apenas uma das variáveis. Vamos isolar o $L$ na equação do custo: $4L = 600 - 3C$ $L = \frac{600 - 3C}{4}$ $L = 150 - 0,75C$

Agora, substituímos essa expressão de $L$ na fórmula da área: $A = (150 - 0,75C) \cdot C$ $A = -0,75C^2 + 150C$

Observe que chegamos a uma função quadrática (do tipo $A = aC^2 + bC + c$), onde $a = -0,75$ e $b = 150$. Como o coeficiente $a$ é negativo, o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, o que significa que ela possui um ponto de máximo (o vértice da parábola).

Para encontrar o valor de $C$ que maximiza a área, calculamos a coordenada $x$ do vértice ($x_v$), dada pela fórmula: $x_v = \frac{-b}{2a}$

Substituindo os valores da nossa função: $C = \frac{-150}{2 \cdot (-0,75)}$ $C = \frac{-150}{-1,5}$ $C = 100 \text{ m}$

Agora que sabemos que o lado $C$ deve medir $100 \text{ m}$ para que a área seja máxima, precisamos descobrir a medida do lado $L$. Voltamos à equação onde isolamos $L$: $L = 150 - 0,75C$ $L = 150 - 0,75 \cdot 100$ $L = 150 - 75$ $L = 75 \text{ m}$

As dimensões que garantem a maior área possível para o galinheiro são $75 \text{ m}$ e $100 \text{ m}$. Como o comando da questão pede a medida do maior lado, a resposta é $100 \text{ m}$.