Questão 136 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer. A probabilidade é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (o que queremos que aconteça) e o número de casos possíveis (o total de resultados que podem ocorrer).

Casos Possíveis

Primeiro, vamos descobrir de quantas maneiras diferentes a empresa pode escolher $5$ computadores dentre os $10$ disponíveis no estoque. Como a ordem em que os computadores são escolhidos não altera o grupo final levado pela empresa, usamos a fórmula de combinação simples:

$C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Aplicando os nossos valores ($n = 10$ e $p = 5$):

$C_{10,5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Simplificando a expressão, obtemos:

$C_{10,5} = 252$

Portanto, existem $252$ grupos diferentes de $5$ computadores que podem ser formados.

Casos Favoráveis

Agora, queremos saber em quantos desses grupos estão presentes todos os $3$ computadores defeituosos.

Para que a empresa leve os $3$ defeituosos em uma compra de $5$ aparelhos, o grupo deve ser formado obrigatoriamente pelos $3$ defeituosos e por mais $2$ computadores perfeitos (para completar a quantidade de $5$).

• O número de maneiras de escolher os $3$ defeituosos dentre os $3$ disponíveis é $C_{3,3} = 1$.
• O número de maneiras de escolher os $2$ computadores perfeitos dentre os $7$ disponíveis é calculado por:

$C_{7,2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

Multiplicando as possibilidades ($1 \times 21$), concluímos que existem $21$ grupos possíveis que contêm todos os $3$ computadores defeituosos.

Calculando a Probabilidade

Por fim, a probabilidade ($P$) de a empresa levar todos os computadores defeituosos é a divisão dos casos favoráveis pelos casos possíveis:

$P = \frac{21}{252}$

Simplificando a fração (dividindo o numerador e o denominador por $21$):

$P = \frac{21 \div 21}{252 \div 21} = \frac{1}{12}$

Logo, a probabilidade de a empresa ter levado todos os três computadores defeituosos é de $\frac{1}{12}$.