Questão 140 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos determinar as dimensões mínimas (largura e comprimento) da bandeja retangular. O segredo aqui é entender como as taças se comportam quando colocadas lado a lado e prestar muita atenção à restrição do enunciado: as bases devem estar totalmente apoiadas na bandeja.

Determinando a largura da bandeja

Como as taças serão dispostas em uma única fileira, a largura da bandeja precisa ser suficiente apenas para acomodar a base de uma taça. O enunciado nos diz que o raio da base é de $4 \text{ cm}$.

O diâmetro da base, que corresponde à largura mínima necessária, é o dobro do raio: $L = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$

Nota: A borda superior da taça tem um diâmetro maior ($10 \text{ cm}$), o que significa que ela ficará "para fora" da bandeja nas laterais. Isso não é um problema, pois a exigência é apenas que a base esteja apoiada.

Determinando o comprimento da bandeja

Agora vamos enfileirar as $4$ taças. Como a parte mais larga da taça é a borda superior (raio de $5 \text{ cm}$), as taças vão se encostar por essas bordas.

A distância entre o centro (eixo central) de uma taça e o centro da taça vizinha será a soma dos raios de suas bordas superiores: $d = 5 + 5 = 10 \text{ cm}$

Como temos $4$ taças, haverá $3$ intervalos entre os centros delas. A distância do centro da primeira taça até o centro da última taça será: $3 \times 10 = 30 \text{ cm}$

Para finalizar o comprimento da bandeja, precisamos adicionar o espaço necessário para apoiar as bases da primeira e da última taça. A partir do centro da primeira taça, precisamos de mais $4 \text{ cm}$ (o raio da base) para a esquerda. Da mesma forma, a partir do centro da última taça, precisamos de mais $4 \text{ cm}$ para a direita.

Somando tudo, o comprimento total ($C$) da bandeja será: $C = 4 \text{ (base esquerda)} + 30 \text{ (distância entre centros)} + 4 \text{ (base direita)}$ $C = 38 \text{ cm}$

Calculando a área mínima

Agora que temos as dimensões mínimas da bandeja retangular (largura de $8 \text{ cm}$ e comprimento de $38 \text{ cm}$), basta calcular a área multiplicando essas duas medidas:

$\text{Área} = \text{Largura} \times \text{Comprimento}$ $\text{Área} = 8 \times 38$ $\text{Área} = 304 \text{ cm}^2$

Portanto, a bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima de $304 \text{ cm}^2$.