Questão 70 do ENEM 2015 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos relacionar a força aplicada no estilingue, a energia armazenada pela borracha e, por fim, o alcance do projétil. Vamos construir esse raciocínio passo a passo.

Primeiro, vamos analisar a deformação da borracha. A força elástica ($F$) aplicada no estilingue é dada pela Lei de Hooke: $F = k \cdot x$ Onde $k$ é a constante elástica da borracha e $x$ é a deformação. Como a questão afirma que a força aplicada é a mesma para ambos os estilingues, podemos isolar a deformação $x$: $x = \frac{F}{k}$

A energia potencial elástica ($E_{el}$) armazenada na borracha quando ela é esticada é dada por: $E_{el} = \frac{1}{2} k \cdot x^2$ Substituindo a expressão de $x$ que encontramos acima, temos: $E_{el} = \frac{1}{2} k \left( \frac{F}{k} \right)^2 = \frac{1}{2} k \frac{F^2}{k^2} = \frac{F^2}{2k}$ Note que, como a força $F$ é constante, a energia armazenada é inversamente proporcional à constante elástica $k$. Ou seja, quanto mais "dura" a borracha (maior $k$), menos energia ela armazena para uma mesma força aplicada, pois ela se deforma muito menos.

Quando a borracha é solta, toda essa energia potencial elástica se transforma em energia cinética ($E_c$) para o projétil de massa $m$: $E_c = E_{el} \implies \frac{1}{2} m \cdot v^2 = \frac{F^2}{2k}$ Dessa relação, podemos ver que o quadrado da velocidade de lançamento ($v^2$) é inversamente proporcional a $k$: $v^2 = \frac{F^2}{m \cdot k}$

Agora, vamos olhar para o alcance horizontal ($D$). Na cinemática do lançamento oblíquo, o alcance máximo para um dado ângulo $\theta$ é calculado por: $D = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}$ Como as condições de arremesso (ângulo e gravidade) são as mesmas, o alcance $D$ é diretamente proporcional a $v^2$. E como vimos que $v^2$ é inversamente proporcional a $k$, concluímos que o alcance $D$ também é inversamente proporcional a $k$: $D \propto \frac{1}{k}$

A questão pede a razão entre os alcances do estilingue duro ($D_d$) e do estilingue mole ($D_m$). Usando a relação de proporção inversa que acabamos de descobrir, temos: $\frac{D_d}{D_m} = \frac{k_m}{k_d}$ O enunciado nos diz que a constante elástica do estilingue duro é o dobro da do mole, ou seja, $k_d = 2 \cdot k_m$. Substituindo isso na nossa razão: $\frac{D_d}{D_m} = \frac{k_m}{2 \cdot k_m} = \frac{1}{2}$

Portanto, a razão entre os alcances é $1/2$, o que nos leva à alternativa correta.