Questão 148 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos primeiro entender como as receitas da empresa variaram ao longo dos três primeiros anos. O enunciado nos fornece os seguintes valores de receita (em bilhões de reais):

• Ano I: $2,2$
• Ano II: $4,2$
• Ano III: $7,4$

Calculando as variações anuais

Vamos calcular o quanto a receita cresceu de um ano para o outro. Chamaremos essas variações de $V_1$ (do ano I para o ano II) e $V_2$ (do ano II para o ano III).

A variação do ano I para o ano II é a diferença entre as receitas desses anos: $V_1 = 4,2 - 2,2 = 2,0$

A variação do ano II para o ano III é: $V_2 = 7,4 - 4,2 = 3,2$

Encontrando a variação para o ano IV

O problema estabelece uma regra específica para projetar a variação do ano III para o ano IV (que chamaremos de $V_3$). A regra diz que essa variação será igual à variação do ano III para o II ($V_2$) adicionada à média aritmética entre essa variação ($V_2$) e a variação do ano II para o I ($V_1$).

Traduzindo isso para uma equação matemática, temos: $V_3 = V_2 + \frac{V_2 + V_1}{2}$

Substituindo os valores que já calculamos ($V_1 = 2,0$ e $V_2 = 3,2$): $V_3 = 3,2 + \frac{3,2 + 2,0}{2}$ $V_3 = 3,2 + \frac{5,2}{2}$ $V_3 = 3,2 + 2,6$ $V_3 = 5,8$

Isso significa que a receita do ano IV deve ser $5,8$ bilhões de reais maior que a receita do ano III.

Calculando a receita do ano IV

Por fim, para encontrar a receita mínima esperada para o ano IV, basta somar a variação $V_3$ à receita do ano III: $\text{Receita}_{IV} = \text{Receita}_{III} + V_3$ $\text{Receita}_{IV} = 7,4 + 5,8 = 13,2$

Portanto, a receita mínima esperada para o ano atual é de $13,2$ bilhões de reais.