Questão 140 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos analisar as propriedades geométricas da figura descrita: um pentágono regular e o triângulo formado por três de seus vértices consecutivos.

O Ângulo Interno do Pentágono Regular

Primeiramente, sabemos que a peça original tinha o formato de um pentágono regular. Um polígono regular possui todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos congruentes (iguais).

Podemos calcular a soma dos ângulos internos ($S_i$) de um polígono de $n$ lados usando a fórmula: $S_i = (n - 2) \cdot 180^\circ$

Como o pentágono tem $5$ lados ($n = 5$): $S_i = (5 - 2) \cdot 180^\circ$ $S_i = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Para encontrar a medida de cada ângulo interno ($a_i$), basta dividir a soma total pelo número de ângulos (que é igual ao número de lados): $a_i = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Observando a figura e as definições do enunciado, o ângulo $z = A\hat{E}D$ é exatamente um dos ângulos internos do pentágono regular. Portanto, já descobrimos que: $z = 108^\circ$

Os Ângulos do Triângulo ADE

Agora, vamos focar no triângulo $ADE$, que é a parte que quebrou. Os lados $AE$ e $ED$ desse triângulo são, na verdade, lados do pentágono regular. Como o pentágono é regular, todos os seus lados são iguais, o que significa que a medida do lado $AE$ é igual à medida do lado $ED$.

Um triângulo que possui dois lados com a mesma medida é chamado de triângulo isósceles. Uma propriedade fundamental dos triângulos isósceles é que os ângulos opostos aos lados iguais também são iguais.

No triângulo $ADE$, os ângulos opostos aos lados $ED$ e $AE$ são, respectivamente, $x = E\hat{A}D$ e $y = E\hat{D}A$. Logo, podemos afirmar que: $x = y$

Sabemos também que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$. Assim, para o triângulo $ADE$, temos a seguinte equação: $x + y + z = 180^\circ$

Substituindo os valores que já conhecemos ($z = 108^\circ$ e $y = x$): $x + x + 108^\circ = 180^\circ$ $2x = 180^\circ - 108^\circ$ $2x = 72^\circ$ $x = \frac{72^\circ}{2}$ $x = 36^\circ$

Como $x = y$, concluímos que $y = 36^\circ$ também.

Conclusão

As medidas dos ângulos procurados são $x = 36^\circ$, $y = 36^\circ$ e $z = 108^\circ$. A alternativa que apresenta esses valores na ordem solicitada é a alternativa C.