Questão 177 do ENEM 2019 — Matemática

ENEM 2019Matemática1ª aplicação

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão esta representado na figura.

descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm.

Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para .

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
A
1.
B
2.
C
4.
5.
Resposta correta
E
8.
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

Montando a equação

O gráfico e o texto que acompanham a figura apresentam a altura do pistão pela função h(t)=4+4sen⁡(βt2−π2)h(t) = 4 + 4\operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) com t≥0t \geq 0. Queremos os instantes em que essa altura vale 6 cm6\text{ cm}, pois o motor só tem boa potência se a altura atingir 6 cm6\text{ cm} por três vezes em menos de 44 segundos.

Igualando h(t)h(t) a 66: 4+4sen⁡(βt2−π2)=64 + 4\operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = 6

Subtraindo 44 e dividindo por 44: sen⁡(βt2−π2)=24=12\operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Achando as três primeiras soluções

No ciclo trigonométrico, sen⁡θ=12\operatorname{sen}\theta = \frac{1}{2} quando θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} ou θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6}, e esses valores se repetem a cada volta completa (+2π+2\pi). Como o argumento θ=βt2−π2\theta = \frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2} cresce com o tempo, as três primeiras vezes em que a altura atinge 6 cm6\text{ cm} correspondem, em ordem, a:

  1. θ1=π6\theta_1 = \dfrac{\pi}{6}
  2. θ2=5π6\theta_2 = \dfrac{5\pi}{6}
  3. θ3=π6+2π=π6+12π6=13π6\theta_3 = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{13\pi}{6}

Como queremos a terceira ocorrência, usamos θ3=13π6\theta_3 = \frac{13\pi}{6}.

Isolando o instante t3t_3

βt32−π2=13π6\frac{\beta t_3}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{6}

Passando π2=3π6\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} para o outro lado: βt32=13π6+3π6=16π6=8π3\frac{\beta t_3}{2} = \frac{13\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}

Isolando t3t_3: t3=2β⋅8π3=16π3βt_3 = \frac{2}{\beta}\cdot\frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{3\beta}

Aplicando a aproximação e a condição de tempo

O enunciado manda usar π≈3\pi \approx 3: t3=16⋅33β=16βt_3 = \frac{16 \cdot 3}{3\beta} = \frac{16}{\beta}

Para boa potência, a terceira ocorrência deve acontecer em menos de 44 segundos, isto é, t3<4t_3 < 4: 16β<4\frac{16}{\beta} < 4

Como β\beta é inteiro positivo, multiplicamos por β>0\beta > 0 sem inverter a desigualdade: 16<4β  ⟹  β>416 < 4\beta \implies \beta > 4

O menor inteiro estritamente maior que 44 é o 55. Portanto, o menor valor de β\beta é 5, alternativa D.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2019 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.