Questão 165 do ENEM 2016 — Matemática

Resolver esta questão significa descobrir a "sombra" que o trajeto do inseto projetaria no chão da barraca se houvesse uma luz brilhando exatamente de cima para baixo. Em matemática, esse rebatimento vertical sobre o plano da base $ABCD$ chama-se projeção ortogonal.

A estrutura descrita é um prisma reto cujas bases são os triângulos das extremidades da barraca ($ADF$ e $BCE$) e cujas faces laterais incluem o chão $ABCD$. Em um prisma reto, as faces triangulares das pontas são perpendiculares ao plano da base. Essa perpendicularidade é a chave para achar a projeção.

O inseto faz o trajeto $A \to B \to E \to C$. Vamos projetar cada trecho no chão:

Trecho $A \to B$: os pontos $A$ e $B$ pertencem ao próprio chão (plano $ABCD$). Logo, a projeção desse trecho é o próprio segmento $AB$.

Trecho $B \to E$: aqui o inseto sobe do chão ($B$) até o topo ($E$). Como o triângulo $BCE$ é perpendicular à base, ao rebater o ponto $E$ verticalmente para baixo ele cai sobre a reta $BC$. Chamando essa sombra de $E'$, a projeção do trecho $B \to E$ é o segmento $B \to E'$, contido na aresta $BC$.

Trecho $E \to C$: agora o inseto desce de $E$ até $C$. A sombra parte de $E'$ (sobre $BC$) e chega a $C$ (que já está no chão), continuando sobre a aresta $BC$.

Juntando tudo: a projeção completa vai de $A$ até $B$ e, em seguida, de $B$ até $C$ (passando por $E'$). Como a base $ABCD$ é retangular, o segmento $AB$ é perpendicular ao segmento $BC$: o traçado esperado é formado por dois segmentos de reta que se encontram em ângulo reto ($90^\circ$), no formato de um "L".

Comparando com as figuras das alternativas, a única que apresenta exatamente dois segmentos perpendiculares em forma de "L" é a da alternativa E. As demais mostram traçados em pico, em zigue-zague ou em ângulo não reto, que não correspondem à projeção ortogonal descrita.