Questão 180 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como formar equipes escolhendo pessoas de um grupo maior. Como a ordem em que os médicos são escolhidos não altera a equipe formada (a equipe formada pelo Dr. A e Dr. B é a mesma que a formada pelo Dr. B e Dr. A), estamos lidando com um problema de Combinação Simples.

A fórmula da combinação para escolher $p$ elementos de um total de $n$ disponíveis é dada por: $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

O enunciado nos diz que temos $7$ cardiologistas e $6$ neurologistas disponíveis, e precisamos formar uma equipe de exatamente $5$ médicos. A condição crucial aqui é a expressão "pelo menos $3$ cardiologistas".

Sempre que aparecer "pelo menos" ou "no mínimo" em análise combinatória, devemos dividir o problema em casos (cenários) separados. Se a equipe tem $5$ vagas e precisamos de no mínimo $3$ cardiologistas, temos três cenários possíveis:

Cenário 1: $3$ Cardiologistas e $2$ Neurologistas

Para escolher $3$ cardiologistas dentre os $7$ disponíveis, calculamos $C_{7,3}$: $C_{7,3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \times 4!}$

Para completar a equipe de $5$ pessoas, precisamos escolher $2$ neurologistas dentre os $6$ disponíveis ($C_{6,2}$): $C_{6,2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \times 4!}$

Como precisamos escolher os cardiologistas E os neurologistas para a mesma equipe, usamos o Princípio Multiplicativo (multiplicamos as possibilidades): $\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$

Cenário 2: $4$ Cardiologistas e $1$ Neurologista

Seguindo a mesma lógica, escolhemos $4$ dos $7$ cardiologistas e $1$ dos $6$ neurologistas: $C_{7,4} = \frac{7!}{4! \times 3!}$ $C_{6,1} = \frac{6!}{1! \times 5!}$

Multiplicando as escolhas (Cardiologistas E Neurologistas): $\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}$

Cenário 3: $5$ Cardiologistas e $0$ Neurologistas

Aqui, a equipe inteira será formada por cardiologistas. Escolhemos $5$ dos $7$ cardiologistas e $0$ dos $6$ neurologistas: $C_{7,5} = \frac{7!}{5! \times 2!}$ $C_{6,0} = \frac{6!}{0! \times 6!}$

Multiplicando as escolhas: $\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}$

Juntando todas as possibilidades

Agora, preste muita atenção: a equipe final será formada pelo Cenário 1 OU pelo Cenário 2 OU pelo Cenário 3. Na análise combinatória, o conectivo "OU" indica que devemos somar as possibilidades (Princípio Aditivo).

Portanto, a expressão numérica total que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é a soma das expressões dos três cenários: $\left( \frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!} \right) + \left( \frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!} \right) + \left( \frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!} \right)$

Analisando as alternativas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa E.