Questão 141 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir quantas vezes o algarismo $2$ aparece ao escrevermos todos os números inteiros do intervalo de $100$ a $399$.

Uma armadilha comum nesse tipo de problema é tentar contar os números que possuem o algarismo $2$ em vez de contar a quantidade total de vezes que o algarismo aparece. Por exemplo, o número $222$ utiliza três peças do algarismo $2$. Para não esquecermos de nenhuma ocorrência e não contarmos nada duplicado, a estratégia mais segura é fazer uma análise posicional, ou seja, contar quantas vezes o algarismo $2$ aparece na casa das centenas, depois na casa das dezenas e, por fim, na casa das unidades.

Casa das Centenas

Vamos observar os números de $100$ a $399$. O algarismo $2$ aparecerá na casa das centenas em todos os números que começam com $2$, ou seja, do $200$ ao $299$. Para saber quantos números existem nesse intervalo, basta fazermos a diferença e somarmos $1$ (para incluir os extremos): $299 - 200 + 1 = 100$ Portanto, precisaremos de $100$ peças para a posição das centenas.

Casa das Dezenas

Agora, vamos procurar o algarismo $2$ na posição das dezenas. Isso acontece nos números com o formato $\text{C}2\text{U}$, em que a centena $\text{C}$ pode ser $1$, $2$ ou $3$, e a unidade $\text{U}$ pode ser qualquer algarismo de $0$ a $9$.

• Na centena do $100$: o $2$ aparece nas dezenas do $120$ ao $129$ ($10$ vezes).
• Na centena do $200$: o $2$ aparece nas dezenas do $220$ ao $229$ ($10$ vezes).
• Na centena do $300$: o $2$ aparece nas dezenas do $320$ ao $329$ ($10$ vezes).

Somando essas ocorrências, temos $10 + 10 + 10 = 30$. Logo, precisaremos de $30$ peças para a posição das dezenas.

Casa das Unidades

Por fim, vamos analisar a posição das unidades. O algarismo $2$ aparecerá nos números com o formato $\text{CD}2$.

• Na centena do $100$: o $2$ aparece nas unidades nos números $102, 112, 122, \dots, 192$. Como as dezenas variam de $0$ a $9$, são $10$ ocorrências.
• Na centena do $200$: o $2$ aparece nas unidades nos números $202, 212, 222, \dots, 292$. Novamente, $10$ ocorrências.
• Na centena do $300$: o $2$ aparece nas unidades nos números $302, 312, 322, \dots, 392$. Mais $10$ ocorrências.

Isso nos dá um total de $10 + 10 + 10 = 30$. Assim, precisaremos de $30$ peças para a posição das unidades.

Total de Peças

Para encontrar a quantidade mínima total de peças simbolizando o algarismo $2$, basta somarmos os resultados obtidos em cada posição: $\text{Total} = 100 \text{ (centenas)} + 30 \text{ (dezenas)} + 30 \text{ (unidades)}$ $\text{Total} = 160$

Portanto, serão necessárias $160$ peças do algarismo $2$.