Questão 142 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos acompanhar o valor do produto e os impostos cobrados em cada etapa da comercialização. O imposto é cumulativo, o que significa que ele incide sobre o valor total da etapa anterior (incluindo os impostos já cobrados).

Vamos definir os dados iniciais:

• Preço inicial do produto: $C$
• Taxa de imposto em cada etapa: $3,65\% = 0,0365$

Primeira Etapa: Venda para a loja

Na primeira venda, o imposto incide sobre o preço inicial $C$.

• O valor do imposto cobrado nesta etapa é: $T_1 = C \times 0,0365$
• O preço que a loja paga pelo produto é o preço inicial mais o imposto: $P_{\text{loja}} = C + C \times 0,0365 = C(1 + 0,0365)$

Segunda Etapa: Venda para o consumidor

Agora, a loja revende o produto para o consumidor. O novo imposto incidirá sobre o valor que a loja pagou ($P_{\text{loja}}$).

• O valor do imposto cobrado nesta segunda etapa é: $T_2 = P_{\text{loja}} \times 0,0365$ Substituindo $P_{\text{loja}}$ pela expressão que encontramos: $T_2 = C(1 + 0,0365) \times 0,0365$ Fazendo a distributiva, temos: $T_2 = C \times 0,0365 + C \times 0,0365^2$

Total de impostos pagos pelo consumidor

Como o imposto é cumulativo e repassado integralmente, o consumidor final arca com a soma de todos os impostos cobrados ao longo da cadeia de comercialização. Assim, o valor total pago em impostos ($T_{\text{total}}$) será a soma do imposto da primeira etapa com o da segunda etapa: $T_{\text{total}} = T_1 + T_2$ $T_{\text{total}} = (C \times 0,0365) + (C \times 0,0365 + C \times 0,0365^2)$

Somando os termos semelhantes ($C \times 0,0365$), chegamos à expressão final: $T_{\text{total}} = 2C \times 0,0365 + C \times 0,0365^2$

Dica extra: Outra forma de pensar seria calcular o preço final pago pelo consumidor, que é $C(1 + 0,0365)^2$, e subtrair o preço inicial $C$. Desenvolvendo o produto notável $(1 + 0,0365)^2$, você chegaria exatamente ao mesmo resultado para a parte correspondente apenas aos impostos.