Questão 136 do ENEM 2021 — Matemática

O que é a projeção ortogonal sobre a base

Projetar ortogonalmente um ponto sobre o plano da base é como registrar a "sombra" desse ponto quando a luz incide perpendicularmente ao plano. Como o prisma é reto e a base é o retângulo $ABCD$, as arestas laterais ($AE$, $BF$, $CG$ e $DH$) são perpendiculares à base. Logo, todo ponto situado sobre uma dessas arestas verticais projeta-se exatamente no vértice correspondente da base.

Onde caem os pontos do trajeto

Pela figura, os pontos intermediários $X$ e $Y$ estão sobre arestas verticais do prisma: $X$ sobre a aresta que sobe de $B$ (aresta $BF$) e $Y$ sobre a aresta que sobe de $C$ (aresta $CG$). Assim, a projeção de cada ponto do percurso sobre a base é:

• $A$ já está na base → projeta em $A$.
• $X$ (sobre a aresta de $B$) → projeta em $B$.
• $Y$ (sobre a aresta de $C$) → projeta em $C$.
• $G$ (topo da aresta de $C$) → projeta em $C$.
• $F$ (topo da aresta de $B$) → projeta em $B$.
• $E$ (topo da aresta de $A$) → projeta em $A$.

Seguindo o caminho projetado

O inseto percorre $A - X - Y - G - F - E - X - G - E$. Trocando cada ponto por sua projeção, o caminho na base fica $A - B - C - C - B - A - B - C - A$. Trecho a trecho:

1. $A \to X$: projeção de $A$ a $B$ → segmento $AB$.
2. $X \to Y$: de $B$ a $C$ → segmento $BC$.
3. $Y \to G$: de $C$ a $C$ → projeção parada em $C$ (o inseto apenas subiu).
4. $G \to F$: de $C$ a $B$ → percorre $BC$ no sentido inverso.
5. $F \to E$: de $B$ a $A$ → percorre $AB$ no sentido inverso.
6. $E \to X$: de $A$ a $B$ → percorre $AB$ de novo.
7. $X \to G$: de $B$ a $C$ → percorre $BC$ de novo.
8. $G \to E$: de $C$ a $A$ → segmento $CA$, que é a diagonal do retângulo da base.

Conclusão

Mesmo com trechos repetidos, os únicos segmentos efetivamente desenhados no plano da base são $AB$, $BC$ e a diagonal $CA$. Juntos, eles formam o triângulo $ABC$. Entre as figuras das alternativas, a que representa exatamente esse triângulo (os lados $AB$ e $BC$ mais a diagonal $AC$) é a da alternativa D.