Questão 145 do ENEM 2017 — Matemática

O problema nos pede para identificar qual das cinco pesquisas apresenta uma margem de erro de, no máximo, $2$ pontos percentuais, ou seja, $0,02$.

Para isso, o enunciado nos fornece a fórmula do erro amostral: $|e| < 1,96 \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$

Queremos que o erro máximo seja menor ou igual a $0,02$. Portanto, podemos montar a seguinte inequação: $1,96 \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \leq 0,02$

Para facilitar os cálculos e evitar divisões com números decimais complexos, podemos manipular essa inequação. Vamos isolar a relação entre $\sqrt{N}$ e $\sigma$: $1,96 \cdot \sigma \leq 0,02 \cdot \sqrt{N}$ $\frac{1,96}{0,02} \leq \frac{\sqrt{N}}{\sigma}$

Como $\frac{1,96}{0,02} = \frac{196}{2} = 98$, a nossa condição se torna: $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} \geq 98$

Agora, basta calcularmos a razão $\frac{\sqrt{N}}{\sigma}$ para cada uma das pesquisas fornecidas na tabela e verificar qual delas resulta em um valor maior ou igual a $98$.

• Pesquisa P1: $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} = \frac{42}{0,5} = 84$

• Pesquisa P2: $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} = \frac{28}{0,4} = \frac{280}{4} = 70$

• Pesquisa P3: $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} = \frac{24}{0,3} = \frac{240}{3} = 80$

• Pesquisa P4: $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} = \frac{21}{0,2} = \frac{210}{2} = 105$

• Pesquisa P5: $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} = \frac{8}{0,1} = \frac{80}{1} = 80$

Analisando os resultados, a única pesquisa que atende à condição de ter a razão $\frac{\sqrt{N}}{\sigma} \geq 98$ é a P4, com o valor de $105$. Isso significa que ela é a única cujo erro amostral será menor que $0,02$.

Portanto, a pesquisa que deverá ser utilizada é a P4.