Questão 144 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar dois momentos distintos na vida da planta: o momento em que ela é colocada à venda e o momento em que atinge sua altura máxima. O problema nos pede o tempo decorrido entre esses dois eventos.

A fórmula que relaciona a altura $h$ (em centímetros) com o tempo $t$ (em dias) é dada por: $h = 5 \cdot \log_{2}(t + 1)$

Primeiro, vamos calcular o tempo $t_1$ em que a planta atinge $30\text{ cm}$ e é colocada à venda. Substituindo $h = 30$ na equação: $30 = 5 \cdot \log_{2}(t_1 + 1)$

Dividindo ambos os lados por $5$: $6 = \log_{2}(t_1 + 1)$

Pela definição de logaritmo, sabemos que $\log_b(a) = x \iff b^x = a$. Aplicando isso, temos: $2^6 = t_1 + 1$ $64 = t_1 + 1$ $t_1 = 64 - 1 = 63\text{ dias}$

Agora, vamos calcular o tempo $t_2$ em que a planta atinge sua altura máxima de $40\text{ cm}$. Substituindo $h = 40$ na equação: $40 = 5 \cdot \log_{2}(t_2 + 1)$

Dividindo ambos os lados por $5$: $8 = \log_{2}(t_2 + 1)$

Novamente, aplicando a definição de logaritmo: $2^8 = t_2 + 1$ $256 = t_2 + 1$ $t_2 = 256 - 1 = 255\text{ dias}$

O comando da questão pede o tempo necessário para a planta alcançar a altura máxima a partir do momento em que é colocada à venda. Isso significa que devemos calcular a diferença entre $t_2$ e $t_1$: $\Delta t = t_2 - t_1$ $\Delta t = 255 - 63 = 192\text{ dias}$

Portanto, a planta levará $192$ dias para atingir sua altura máxima após ser colocada à venda.