Questão 171 do ENEM 2024 — Matemática

O problema nos apresenta um desafio clássico de geometria conhecido como problema isoperimétrico. Temos um perímetro fixo de valor $k$ (o comprimento total da cerca) e precisamos descobrir qual das três formas geométricas regulares — triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular — consegue englobar a maior área possível.

Para resolver isso, vamos calcular a área de cada uma dessas figuras em função do perímetro $k$.

1. Triângulo Equilátero

Um triângulo equilátero possui $3$ lados iguais. Se o perímetro total é $k$, a medida do lado ($L$) será: $L = \frac{k}{3}$

A fórmula da área de um triângulo equilátero é $A = \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}$. Substituindo o valor do lado que encontramos: $A_{\text{triângulo}} = \frac{\left(\frac{k}{3}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{k^2}{9} \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{36}$

2. Quadrado

Um quadrado possui $4$ lados iguais. Com o perímetro $k$, a medida do lado será: $L = \frac{k}{4}$

A fórmula da área do quadrado é $A = L^2$. Substituindo o lado: $A_{\text{quadrado}} = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16}$

3. Hexágono Regular

Um hexágono regular possui $6$ lados iguais. Assim, a medida do lado será: $L = \frac{k}{6}$

Um hexágono regular pode ser dividido em $6$ triângulos equiláteros idênticos. Portanto, sua área é $6$ vezes a área de um triângulo equilátero de lado $L$: $A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}$

Substituindo o lado $L = \frac{k}{6}$: $A_{\text{hexágono}} = 6 \cdot \frac{\left(\frac{k}{6}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{\frac{k^2}{36} \sqrt{3}}{4}$

Simplificando o $6$ com o $36$, obtemos $6$ no denominador da fração interna: $A_{\text{hexágono}} = \frac{\frac{k^2}{6} \sqrt{3}}{4} = \frac{k^2 \sqrt{3}}{24}$

Comparando as Áreas

Agora precisamos descobrir qual dessas áreas é a maior:

• Triângulo: $\frac{k^2 \sqrt{3}}{36}$
• Quadrado: $\frac{k^2}{16}$
• Hexágono: $\frac{k^2 \sqrt{3}}{24}$

Primeiro, comparando o triângulo e o hexágono: como $24$ é menor que $36$, a fração dividida por $24$ resulta em um valor maior. Logo, o hexágono tem uma área maior que o triângulo.

Agora, comparamos o hexágono com o quadrado. Sabendo que $\sqrt{3} \approx 1,73$:

• Hexágono: $\frac{1,73}{24} k^2 \approx 0,072 k^2$
• Quadrado: $\frac{1}{16} k^2 = 0,0625 k^2$

Como $0,072 > 0,0625$, a área do hexágono é a maior de todas.

Existe um princípio matemático muito elegante por trás disso: para um perímetro fixo, quanto maior o número de lados de um polígono regular, maior será a sua área. A forma que otimiza o espaço ao máximo é o círculo. Como o hexágono é o polígono com mais lados entre as opções, ele é o que mais se aproxima de um círculo, garantindo a maior área.

Portanto, o jardineiro deve escolher o hexágono regular, cuja área será $\frac{k^2 \sqrt{3}}{24}$.