Questão 138 do ENEM 2018 — Matemática

ENEM 2018Matemática1ª aplicação

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 6(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2).

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

x = 0

y = 0

x² + y² =16

x² + (y-2)² = 4

(x -2 )² + ( y - 2 )² = 8

Resposta correta

Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

O jogo tem duas regras que decidem tudo: (1) a trajetória escolhida precisa passar pela origem $(0,0)$ e também pelo ponto $A(0,4)$ ; e (2) a pontuação depende do tipo de curva — cada ponto atingido (fora a origem) vale 1 ponto se for reta e 2 pontos se for circunferência. Nosso alvo é a equação que rende mais pontos.

Os pontos disponíveis no plano são $A(0,4)$ , $B(4,4)$ , $C(4,0)$ , $D(2,2)$ e $E(0,2)$ . Para saber se um ponto está sobre a curva, basta substituir suas coordenadas na equação: se a igualdade se confirma, o ponto é atingido. Vamos testar cada alternativa.

Alternativa A: $x = 0$

É o eixo $y$ (uma reta). Passa pela origem e por $A(0,4)$ . Os únicos alvos com $x=0$ são $A$ e $E(0,2)$ . Sendo reta, valem 1 ponto cada: total de 2 pontos.

Alternativa B: $y = 0$

É o eixo $x$ (uma reta). Passa pela origem, mas em $A(0,4)$ temos $y=4 \neq 0$ , ou seja, não passa por $A$ . Como a regra obriga passar por $A$ , a alternativa é inválida.

Alternativa C: $x^2 + y^2 = 16$

Circunferência. Testando a origem: $0^2 + 0^2 = 0 \neq 16$ . Ela não passa pela origem, logo é inválida.

Alternativa D: $x^2 + (y-2)^2 = 4$

Circunferência. Testando os pontos:

Origem $(0,0)$ : $0 + (0-2)^2 = 4$ . (passa)
$A(0,4)$ : $0 + (4-2)^2 = 4$ . (passa)
$B(4,4)$ : $16 + 4 = 20 \neq 4$ . (não passa)
$C(4,0)$ : $16 + 4 = 20 \neq 4$ . (não passa)
$D(2,2)$ : $4 + 0 = 4$ . (passa)
$E(0,2)$ : $0 + 0 = 0 \neq 4$ . (não passa — na verdade $E$ é o centro dessa circunferência, e o centro não fica sobre a linha)

Alvos atingidos: $A$ e $D$ . Como é circunferência, $2 \times 2 =$ 4 pontos.

Alternativa E: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8$

Circunferência. Testando os pontos:

Origem $(0,0)$ : $(-2)^2 + (-2)^2 = 8$ . (passa)
$A(0,4)$ : $(-2)^2 + (2)^2 = 8$ . (passa)
$B(4,4)$ : $(2)^2 + (2)^2 = 8$ . (passa)
$C(4,0)$ : $(2)^2 + (-2)^2 = 8$ . (passa)
$D(2,2)$ : $0 + 0 = 0 \neq 8$ . (não passa — $D$ é o centro)
$E(0,2)$ : $(-2)^2 + 0 = 4 \neq 8$ . (não passa)

Alvos atingidos: $A$ , $B$ e $C$ . Três acertos numa circunferência: $3 \times 2 =$ 6 pontos.

Conclusão

Comparando as pontuações válidas — 2 pontos (A), 4 pontos (D) e 6 pontos (E) — a maior é a da alternativa E, que atinge três alvos com uma circunferência passando pela origem e por $A$ .

Resposta: alternativa E.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2018 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.

Questão 138 do ENEM 2018 — Matemática

Resolução comentada

Alternativa A: x=0x = 0x=0

Alternativa B: y=0y = 0y=0

Alternativa C: x2+y2=16x^2 + y^2 = 16x2+y2=16

Alternativa D: x2+(y−2)2=4x^2 + (y-2)^2 = 4x2+(y−2)2=4