Questão 142 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos analisar as características do poliedro original e entender como cada corte afeta o número de faces, arestas e vértices.

A joia original tem o formato de uma pirâmide de base quadrangular. Vamos contar seus elementos iniciais:

• Vértices ($V_0$): $4$ na base ($P, Q, R, S$) e $1$ no topo, totalizando $5$ vértices.
• Faces ($F_0$): $1$ face na base e $4$ faces laterais triangulares, totalizando $5$ faces.
• Arestas ($A_0$): $4$ arestas na base e $4$ arestas laterais, totalizando $8$ arestas.

O lapidador faz um corte em cada um dos $4$ cantos da base (vértices $P, Q, R$ e $S$). Cada um desses cantos é um vértice onde se encontram $3$ arestas. Vamos analisar o que acontece com a estrutura do poliedro a cada corte:

• Faces: ao cortar uma "ponta", surge uma nova superfície plana. Como o corte intercepta as três arestas que partiam do vértice, essa nova face é um triângulo. Logo, cada corte acrescenta $1$ nova face.
• Vértices: o vértice original cortado deixa de existir ($-1$ vértice), mas o corte cria novos vértices nos três pontos em que intercepta as arestas originais ($+3$ vértices). O saldo é $+2$ vértices por corte.
• Arestas: as arestas originais não são destruídas, apenas encurtadas. Além disso, o contorno da nova face triangular acrescenta $3$ novas arestas. O saldo é $+3$ arestas por corte.

Como o processo se repete nos $4$ cantos da base, calculamos os valores finais:

• Faces ($F$): as $5$ originais mais $4$ novas. $F = 5 + 4 = 9$
• Arestas ($A$): as $8$ originais mais $3$ por corte. $A = 8 + 4 \times 3 = 8 + 12 = 20$
• Vértices ($V$): os $5$ originais, menos os $4$ removidos, mais os $3$ criados por corte. $V = 5 - 4 + 4 \times 3 = 5 - 4 + 12 = 13$

Podemos conferir o resultado pela Relação de Euler ($V - A + F = 2$): $13 - 20 + 9 = 2$ A relação é satisfeita, o que confirma os cálculos.

Portanto, a nova joia possui $9$ faces, $20$ arestas e $13$ vértices.