Questão 161 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos encontrar o instante de tempo $t$ em que os volumes de leite nos dois reservatórios são iguais. O próprio enunciado nos dá as funções que descrevem esses volumes ao longo do tempo:

$V_1(t) = 250t^3 - 100t + 3000$ $V_2(t) = 150t^3 + 69t + 3000$

Como queremos saber quando os volumes se igualam, basta igualarmos as duas funções:

$V_1(t) = V_2(t)$ $250t^3 - 100t + 3000 = 150t^3 + 69t + 3000$

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $t$. Primeiro, podemos subtrair $3000$ de ambos os lados da equação, o que simplifica bastante a nossa expressão:

$250t^3 - 100t = 150t^3 + 69t$

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes. Passamos o $150t^3$ para o lado esquerdo subtraindo e o $-100t$ para o lado direito somando (ou passamos tudo para um lado só):

$250t^3 - 150t^3 = 69t + 100t$ $100t^3 = 169t$

Passando todos os termos para o mesmo lado para fatorar a equação, temos:

$100t^3 - 169t = 0$

Colocando o $t$ em evidência:

$t \cdot (100t^2 - 169) = 0$

Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim, temos duas possibilidades:

1. $t = 0$ (que é o instante inicial mencionado no enunciado, quando as torneiras são abertas).
2. $100t^2 - 169 = 0$

Como queremos o outro instante de tempo, vamos resolver a segunda equação:

$100t^2 = 169$ $t^2 = \frac{169}{100}$ $t^2 = 1,69$

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

$t = \pm \sqrt{1,69}$ $t = \pm 1,3$

Como o tempo não pode ser negativo no contexto do problema, descartamos o valor negativo. Portanto, o tempo em que os volumes voltam a se igualar é:

$t = 1,3 \text{ h}$

Isso corresponde à alternativa A.