Questão 165 do ENEM 2020 — Matemática

Entendendo o Problema

O marceneiro precisa construir $5$ prateleiras retangulares. Como o enunciado afirma que ele pode fazer "qualquer tipo de emenda", não precisamos nos preocupar com o encaixe exato das dimensões das tábuas, mas sim com a área total de madeira necessária. O objetivo é comprar a quantidade mínima de tábuas em uma das madeireiras de forma que a área comprada seja suficiente para as prateleiras e a sobra seja a menor possível.

Calculando a Área Necessária

Primeiro, vamos calcular a área de uma única prateleira, que possui $30 \text{ cm}$ de largura por $120 \text{ cm}$ de comprimento: $A_{\text{prateleira}} = 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm} = 3600 \text{ cm}^2$

Como ele precisa de $5$ prateleiras, a área total de madeira necessária será: $A_{\text{total}} = 5 \times 3600 \text{ cm}^2 = 18000 \text{ cm}^2$

Analisando as Madeireiras

Agora, vamos calcular a área de uma tábua em cada madeireira, descobrir quantas tábuas inteiras o marceneiro precisará comprar (já que não se vende fração de tábua) e qual será a sobra de madeira.

Madeireira I:

• Área de uma tábua: $40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm} = 4000 \text{ cm}^2$
• Tábuas necessárias: $18000 \div 4000 = 4,5$. Logo, ele precisa comprar $5$ tábuas.
• Área comprada: $5 \times 4000 = 20000 \text{ cm}^2$
• Sobra: $20000 - 18000 = 2000 \text{ cm}^2$

Madeireira II:

• Área de uma tábua: $30 \text{ cm} \times 110 \text{ cm} = 3300 \text{ cm}^2$
• Tábuas necessárias: $18000 \div 3300 \approx 5,45$. Logo, ele precisa comprar $6$ tábuas.
• Área comprada: $6 \times 3300 = 19800 \text{ cm}^2$
• Sobra: $19800 - 18000 = 1800 \text{ cm}^2$

Madeireira III:

• Área de uma tábua: $35 \text{ cm} \times 120 \text{ cm} = 4200 \text{ cm}^2$
• Tábuas necessárias: $18000 \div 4200 \approx 4,28$. Logo, ele precisa comprar $5$ tábuas.
• Área comprada: $5 \times 4200 = 21000 \text{ cm}^2$
• Sobra: $21000 - 18000 = 3000 \text{ cm}^2$

Madeireira IV:

• Área de uma tábua: $25 \text{ cm} \times 150 \text{ cm} = 3750 \text{ cm}^2$
• Tábuas necessárias: $18000 \div 3750 = 4,8$. Logo, ele precisa comprar $5$ tábuas.
• Área comprada: $5 \times 3750 = 18750 \text{ cm}^2$
• Sobra: $18750 - 18000 = 750 \text{ cm}^2$

Madeireira V:

• Área de uma tábua: $20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 4000 \text{ cm}^2$
• Tábuas necessárias: $18000 \div 4000 = 4,5$. Logo, ele precisa comprar $5$ tábuas.
• Área comprada: $5 \times 4000 = 20000 \text{ cm}^2$
• Sobra: $20000 - 18000 = 2000 \text{ cm}^2$

Conclusão

Comparando as sobras de todas as opções, a menor sobra ocorre ao comprar na Madeireira IV, onde restarão apenas $750 \text{ cm}^2$ de madeira.