Questão 180 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de o paciente sofrer pelo menos um efeito colateral ao longo do tratamento e garantir que esse valor não ultrapasse $35\%$.

Em problemas de probabilidade que envolvem a condição "pelo menos um", geralmente é muito mais simples calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, a probabilidade de o paciente não sofrer nenhum efeito colateral, e subtrair esse valor do total ($100\%$ ou $1$).

Sabemos que a chance de um efeito colateral ocorrer em uma única dose é de $10\%$ (ou $0,1$). Logo, a chance de o paciente não ter efeito colateral em uma dose é o restante: $100\% - 10\% = 90\% = 0,9$

Como as doses são eventos independentes, a probabilidade de o paciente passar ileso, sem nenhum efeito colateral após $n$ doses, é dada pela multiplicação das probabilidades de cada dose: $P(\text{nenhum efeito}) = (0,9)^n$

Consequentemente, a probabilidade de ocorrer algum efeito colateral (o risco do tratamento) é o que falta para $100\%$: $P(\text{algum efeito}) = 1 - (0,9)^n$

O enunciado nos diz que o paciente aceita um risco de até $35\%$ (ou $0,35$). Portanto, precisamos encontrar o maior número de doses $n$ que satisfaça a inequação: $1 - (0,9)^n \le 0,35$

Isolando a potência $(0,9)^n$, temos: $(0,9)^n \ge 1 - 0,35$ $(0,9)^n \ge 0,65$

Agora, vamos calcular as potências sucessivas de $0,9$ para encontrar o maior valor de $n$ que mantém o resultado maior ou igual a $0,65$:

• Para $n = 1$: $(0,9)^1 = 0,9$
• Para $n = 2$: $(0,9)^2 = 0,9 \times 0,9 = 0,81$
• Para $n = 3$: $(0,9)^3 = 0,81 \times 0,9 = 0,729$
• Para $n = 4$: $(0,9)^4 = 0,729 \times 0,9 = 0,6561$

Note que para $n = 4$, temos $(0,9)^4 = 0,6561$, que ainda é maior que $0,65$. Isso significa que o risco para $4$ doses é de $1 - 0,6561 = 0,3439$, ou seja, $34,39\%$, o que está perfeitamente dentro do limite aceitável de $35\%$.

Se testarmos para a próxima dose, teríamos:

• Para $n = 5$: $(0,9)^5 = 0,6561 \times 0,9 = 0,59049$

Como $0,59049$ é menor que $0,65$, o risco ultrapassaria os $35\%$ (seria de aproximadamente $40,95\%$). Consequentemente, para $6$, $8$ ou $10$ doses, o risco seria ainda maior.

Portanto, o maior número admissível de doses para que o risco seja de no máximo $35\%$ é $4$ doses.