Questão 174 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo) e o Princípio Aditivo da análise combinatória.

O enunciado nos diz que a senha pode ser formada por $3$, $4$ ou $5$ toques. Como essas são opções mutuamente exclusivas (uma senha não pode ter exatamente $3$ e exatamente $4$ toques ao mesmo tempo), devemos calcular o número de combinações possíveis para cada tamanho de senha separadamente e, no final, somar todos esses valores.

Além disso, os toques podem ser feitos livremente nas $4$ regiões da tela. Isso significa que podemos repetir a mesma região em toques diferentes. Para cada toque que compõe a senha, temos sempre $4$ opções de escolha (as regiões $1$, $2$, $3$ ou $4$).

Vamos analisar cada caso:

Senhas com $3$ toques

Temos $3$ posições para preencher. Para o primeiro toque, há $4$ opções. Para o segundo, também $4$ opções. Para o terceiro, novamente $4$ opções. Pelo Princípio Multiplicativo, o total de senhas com $3$ toques é: $4 \times 4 \times 4 = 4^3$

Senhas com $4$ toques

Seguindo a mesma lógica, agora temos $4$ posições, cada uma com $4$ opções de escolha. O total de senhas com $4$ toques é: $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4$

Senhas com $5$ toques

Para senhas de tamanho $5$, temos $5$ posições, cada uma com $4$ opções. O total de senhas com $5$ toques é: $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$

Total de códigos existentes

Como o usuário pode escolher uma senha de $3$ ou $4$ ou $5$ toques, aplicamos o Princípio Aditivo, somando as possibilidades de cada caso: $\text{Total} = 4^3 + 4^4 + 4^5$

Reorganizando a expressão para a ordem decrescente dos expoentes, obtemos: $4^5 + 4^4 + 4^3$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa correta.