Questão 139 do ENEM 2017 — Matemática

Para descobrirmos quando é mais vantajoso abastecer com gasolina, precisamos comparar o custo de percorrer uma mesma distância com cada um dos combustíveis.

O enunciado nos diz que o carro percorre a mesma distância com $45$ litros de gasolina ou com $60$ litros de etanol.

Sabendo que o preço do litro da gasolina é $x$ e o do etanol é $y$, podemos calcular o custo total para percorrer essa distância com cada combustível:

• Custo com gasolina: $45x$
• Custo com etanol: $60y$

Para que o uso da gasolina seja economicamente mais vantajoso, o custo total de abastecer com gasolina deve ser estritamente menor que o custo de abastecer com etanol para a mesma distância. Assim, montamos a seguinte inequação: $45x < 60y$

Como as alternativas expressam a resposta em função da razão $\frac{x}{y}$, precisamos isolar essa fração na nossa inequação. Como os preços são valores positivos, podemos manipular a desigualdade sem alterar o seu sentido. Primeiro, dividimos ambos os lados por $y$: $45 \cdot \frac{x}{y} < 60$

Em seguida, dividimos ambos os lados por $45$: $\frac{x}{y} < \frac{60}{45}$

Por fim, basta simplificar a fração do lado direito. Dividindo o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum, que é $15$, obtemos: $\frac{x}{y} < \frac{4}{3}$

Portanto, a situação em que abastecer com gasolina é mais vantajosa do que abastecer com etanol é expressa pela inequação $\frac{x}{y} < \frac{4}{3}$.