Questão 170 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos analisar a viagem do motorista dividindo-a em três trechos. O conceito fundamental que utilizaremos é o de velocidade média, que relaciona a distância percorrida com o tempo gasto, dado pela fórmula:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Onde:

• $v$ é a velocidade média;
• $\Delta s$ é a distância percorrida;
• $\Delta t$ é o intervalo de tempo.

Sabemos que a viagem total tem uma distância de $100\text{ km}$ e foi realizada em um tempo total de $1\text{ h } 30\text{ min}$. Para facilitar os cálculos, vamos converter esse tempo total para horas. Como $30\text{ min}$ equivalem a meia hora ($0,5\text{ h}$), o tempo total é de $1,5\text{ h}$ (ou $\frac{3}{2}\text{ h}$).

Analisando os trechos da viagem

Primeiro trecho: O motorista percorreu $\Delta s_1 = 30\text{ km}$ com uma velocidade de $v_1 = 90\text{ km/h}$. Podemos descobrir o tempo gasto nesse trecho ($t_1$) isolando o tempo na fórmula da velocidade média:

$t_1 = \frac{\Delta s_1}{v_1} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}\text{ h}$

Segundo trecho: Neste trecho, a distância foi $\Delta s_2 = 40\text{ km}$ e a velocidade $v_2 = 80\text{ km/h}$. O tempo gasto ($t_2$) será:

$t_2 = \frac{\Delta s_2}{v_2} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}\text{ h}$

Terceiro (e último) trecho: Primeiro, precisamos descobrir qual é a distância desse último trecho ($\Delta s_3$). Como a viagem total é de $100\text{ km}$, subtraímos as distâncias já percorridas:

$\Delta s_3 = 100 - 30 - 40 = 30\text{ km}$

Agora, precisamos descobrir quanto tempo sobrou para realizar esse trecho ($t_3$). Subtraímos do tempo total os tempos gastos nos dois primeiros trechos:

$t_3 = t_{\text{total}} - t_1 - t_2$ $t_3 = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Para subtrair essas frações, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) entre $2$ e $3$, que é $6$:

$t_3 = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{9 - 2 - 3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\text{ h}$

Calculando a velocidade no último trecho

Agora que sabemos que no último trecho o motorista percorreu $30\text{ km}$ em $\frac{2}{3}\text{ h}$, basta aplicar novamente a fórmula da velocidade média para encontrar $v_3$:

$v_3 = \frac{\Delta s_3}{t_3} = \frac{30}{\frac{2}{3}}$

Para dividir por uma fração, multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador:

$v_3 = 30 \cdot \frac{3}{2} = \frac{90}{2} = 45\text{ km/h}$

Portanto, a velocidade média do motorista no último trecho da viagem foi de $45\text{ km/h}$.