Questão 150 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular a capacidade (ou seja, o volume) de cada uma das canecas e, em seguida, identificar qual delas possui o maior valor, já que o enunciado afirma que a pessoa escolherá a caneca com maior capacidade.

O volume ($V$) tanto de um prisma reto quanto de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da sua base ($A_b$) pela sua altura ($h$): $V = A_b \cdot h$

Sabemos que ambas as canecas possuem a mesma altura $h = 10\text{ cm}$. Vamos calcular o volume de cada uma separadamente.

Volume da Caneca A (Prisma Hexagonal)

A base da caneca A é um hexágono regular de lado $L = 4\text{ cm}$. Um hexágono regular pode ser dividido em $6$ triângulos equiláteros. Portanto, a área da base hexagonal é $6$ vezes a área de um triângulo equilátero de lado $L$: $A_{bA} = 6 \cdot \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}$

Substituindo o valor do lado ($L = 4\text{ cm}$) e a aproximação dada no enunciado ($\sqrt{3} = 1,7$): $A_{bA} = 6 \cdot \frac{4^2 \cdot 1,7}{4}$ $A_{bA} = 6 \cdot \frac{16 \cdot 1,7}{4}$ $A_{bA} = 6 \cdot 4 \cdot 1,7$ $A_{bA} = 24 \cdot 1,7 = 40,8\text{ cm}^2$

Agora, multiplicamos a área da base pela altura para encontrar o volume da caneca A: $V_A = 40,8 \cdot 10 = 408\text{ cm}^3$

Volume da Caneca B (Cilindro)

A base da caneca B é um círculo com diâmetro $d = 6\text{ cm}$. Como o raio ($r$) é a metade do diâmetro, temos $r = 3\text{ cm}$. A área de um círculo é dada por: $A_{bB} = \pi \cdot r^2$

Substituindo o valor do raio e a aproximação dada no enunciado ($\pi = 3,1$): $A_{bB} = 3,1 \cdot 3^2$ $A_{bB} = 3,1 \cdot 9 = 27,9\text{ cm}^2$

Multiplicando a área da base pela altura, encontramos o volume da caneca B: $V_B = 27,9 \cdot 10 = 279\text{ cm}^3$

Conclusão

Comparando as duas capacidades:

• Caneca A: $408\text{ cm}^3$
• Caneca B: $279\text{ cm}^3$

Como a pessoa escolherá a caneca com maior capacidade, ela optará pela Caneca A, cuja capacidade é de $408\text{ cm}^3$.