Questão 166 do ENEM 2014 — Matemática

A ideia é construir a curva de $Q$ (quantidade da substância) em função do tempo $t$, hora a hora, e depois identificar entre as alternativas o gráfico que reproduz exatamente essa curva.

1. Instante inicial e a primeira dose

Antes de qualquer dose havia $1$ unidade no organismo. No instante $t = 0$ o paciente toma a primeira dose, que soma $2$ unidades instantaneamente: $Q(0) = 1 + 2 = 3 \text{ unidades}$ Então a curva começa no ponto $(0, 3)$.

2. Taxa de decaimento

Depois de cada dose, a quantidade cai linearmente durante $2$ horas até voltar ao valor imediatamente anterior à ingestão. Como cada dose adiciona $2$ unidades, o corpo consome essas $2$ unidades em $2$ horas: $\text{taxa} = \frac{-2 \text{ unidades}}{2 \text{ horas}} = -1 \text{ unidade por hora}$

3. A segunda dose (o descuido)

O paciente toma a segunda dose $1$ hora após a primeira, isto é, em $t = 1$. Nessa uma hora, $Q$ caiu $1$ unidade: $Q(1^-) = 3 - 1 = 2 \text{ unidades}$ Ao tomar a dose em $t = 1$, soma-se $2$ unidades de forma instantânea: $Q(1) = 2 + 2 = 4 \text{ unidades}$ Há então um salto vertical de $2$ para $4$ em $t = 1$.

4. Tratamento regular a partir daí

De $t = 1$ em diante o remédio é tomado a cada $2$ horas ($t = 3, 5, 7, \dots$). Em cada intervalo de $2$ horas, $Q$ cai de $4$ até $2$ (queda de $1$ por hora) e, na nova dose, salta de volta de $2$ para $4$. Esse padrão de dente de serra se repete.

5. Que gráfico procurar

O gráfico correto é aquele que reproduz exatamente esta sequência:

• começa em $(0, 3)$;
• desce em reta até $(1, 2)$;
• salta para $(1, 4)$;
• daí em diante alterna quedas lineares até $Q = 2$ e saltos instantâneos para $Q = 4$ a cada $2$ horas (em $t = 3, 5, 7$).

O gráfico que reproduz precisamente esses pontos e segmentos é o da alternativa A.