Questão 175 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos dividir a distribuição dos presentes em etapas, focando primeiro nas restrições mais específicas. Temos um total de $8$ presentes distintos, sendo que dois deles são especiais: a bicicleta e o celular. A distribuição será feita entre três filhos: o mais velho receberá $3$ presentes, o mais novo receberá $3$ presentes e o do meio receberá $2$ presentes.

A principal restrição da questão diz respeito ao filho mais velho: ele deve receber exatamente um dos presentes especiais (ou a bicicleta ou o celular, mas não ambos) e, consequentemente, os outros dois presentes que ele receberá devem ser escolhidos entre os $6$ presentes "comuns" restantes.

Vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher os presentes para cada filho, um de cada vez.

Escolha dos presentes do filho mais velho

O filho mais velho receberá $3$ presentes no total. Como ele deve ganhar a bicicleta ou o celular, temos $2$ opções para esse presente especial.

Para completar os $3$ presentes dele, precisamos escolher mais $2$ presentes entre os $6$ presentes comuns disponíveis. Como a ordem em que os presentes são escolhidos não importa, usamos uma combinação simples: $C_{6,2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Portanto, o número de maneiras de montar o conjunto de presentes do filho mais velho é: $2 \times 15 = 30 \text{ maneiras}$

Escolha dos presentes do filho mais novo

Após separar os $3$ presentes do filho mais velho, restam $5$ presentes no total (lembre-se de que o presente especial que o mais velho não ganhou, seja a bicicleta ou o celular, continua disponível para os outros filhos).

O filho mais novo deve receber $3$ presentes. Novamente, a ordem não importa, então calculamos as combinações de $5$ presentes tomados $3$ a $3$: $C_{5,3} = \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ maneiras}$

Escolha dos presentes do filho do meio

Depois de distribuir os presentes do mais velho e do mais novo, restam exatamente $2$ presentes. O filho do meio deve receber $2$ presentes, logo, ele ficará com o que sobrou. Só há $1$ maneira de isso acontecer: $C_{2,2} = \binom{2}{2} = 1 \text{ maneira}$

Total de distribuições possíveis

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, para encontrar o número total de maneiras distintas de distribuir todos os presentes, multiplicamos as possibilidades de cada etapa: $\text{Total} = 30 \times 10 \times 1 = 300 \text{ maneiras}$

Assim, a distribuição dos presentes pode ser feita de $300$ maneiras distintas.