Questão 112 do ENEM 2022 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos determinar o momento em que a corda do balanço sofre a maior tensão (força de tração) e, a partir disso, calcular a tensão de ruptura com a margem de segurança exigida pelo pai.

O ponto de maior tensão

Em um movimento pendular, a tração na corda atinge seu valor máximo no ponto mais baixo da trajetória. Nesse instante, a corda precisa suportar não apenas o peso da criança, mas também fornecer a força resultante necessária para realizar a curva, ou seja, a força centrípeta.

Conservação da Energia Mecânica

Primeiro, vamos descobrir a velocidade do balanço no ponto mais baixo. Como o balanço parte do repouso de um ângulo de $90^\circ$ em relação à vertical, a altura da queda é exatamente igual ao comprimento da corda, que chamaremos de $R$.

Pela conservação da energia mecânica, toda a energia potencial gravitacional no ponto mais alto se transforma em energia cinética no ponto mais baixo: $E_p = E_c$ $m \cdot g \cdot R = \frac{m \cdot v^2}{2}$

Isolando o termo $v^2$, temos: $v^2 = 2 \cdot g \cdot R$

Dinâmica no ponto mais baixo

No ponto mais baixo, as forças que atuam na criança são a tração total ($T_{total}$) puxando para cima e o peso ($P$) puxando para baixo. A força resultante dessas duas é a força centrípeta ($F_{cp}$), que aponta para o centro da trajetória (para cima): $F_{cp} = T_{total} - P$ $T_{total} = P + F_{cp}$

Sabemos que a força centrípeta é dada por $F_{cp} = \frac{m \cdot v^2}{R}$. Substituindo o $v^2$ que encontramos pela conservação da energia: $F_{cp} = \frac{m \cdot (2 \cdot g \cdot R)}{R} = 2 \cdot m \cdot g$

Como o peso é $P = m \cdot g$, podemos dizer que a força centrípeta no ponto mais baixo é igual ao dobro do peso ($2 \cdot P$). Logo, a tração total no sistema será: $T_{total} = P + 2 \cdot P = 3 \cdot P$

Calculando os valores

A massa máxima da criança é $m = 24 \text{ kg}$ e a aceleração da gravidade é $g = 10 \text{ m/s}^2$. O peso máximo é: $P = 24 \cdot 10 = 240 \text{ N}$

A tração total suportada pelo balanço no ponto mais baixo é: $T_{total} = 3 \cdot 240 = 720 \text{ N}$

Divisão da tensão e margem de segurança

O enunciado destaca que o balanço utiliza "dois segmentos paralelos e iguais da mesma corda". Isso significa que a tração total de $720 \text{ N}$ é dividida igualmente entre as duas cordas. A tensão máxima em cada corda será: $T_{corda} = \frac{720}{2} = 360 \text{ N}$

Por fim, o pai quer uma margem de segurança de $25\%$ sobre essa tensão máxima para definir a tensão de ruptura da corda que irá comprar. Calcular um acréscimo de $25\%$ é o mesmo que multiplicar o valor por $1,25$ (ou somar um quarto do valor original): $T_{ruptura} = 360 + (0,25 \cdot 360)$ $T_{ruptura} = 360 + 90 = 450 \text{ N}$

Portanto, a tensão de ruptura da corda escolhida deve ser de $450 \text{ N}$.