Questão 146 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro descobrir o comprimento de cada um dos circuitos do parque. Vamos chamar o comprimento do circuito maior de $x$ e o do circuito menor de $y$.

O enunciado nos dá duas informações sobre o treino no primeiro dia, que podemos transformar em um sistema de equações:

1. O corredor dá $3$ voltas no circuito maior e $2$ no menor, totalizando $1800 \text{ m}$: $3x + 2y = 1800$

2. Depois, ele dá mais $2$ voltas no circuito maior e $1$ no menor, percorrendo mais $1100 \text{ m}$: $2x + y = 1100$

Podemos resolver esse sistema isolando $y$ na segunda equação: $y = 1100 - 2x$

Substituindo essa expressão na primeira equação, temos: $3x + 2(1100 - 2x) = 1800$ $3x + 2200 - 4x = 1800$ $-x = 1800 - 2200$ $-x = -400 \implies x = 400 \text{ m}$

Agora, substituímos o valor de $x$ para encontrar $y$: $y = 1100 - 2(400)$ $y = 1100 - 800 = 300 \text{ m}$

Portanto, descobrimos que o circuito maior tem $400 \text{ m}$ e o menor tem $300 \text{ m}$.

No segundo dia, o corredor quer percorrer exatamente $5000 \text{ m}$. Se chamarmos de $A$ o número de voltas no circuito maior e de $B$ o número de voltas no circuito menor, podemos montar a seguinte equação: $400A + 300B = 5000$

Para simplificar os cálculos, podemos dividir toda a equação por $100$: $4A + 3B = 50$

O objetivo da questão é que o número total de voltas ($A + B$) seja o maior possível. Pense na lógica: para dar o maior número de voltas percorrendo uma distância fixa, o corredor deve dar preferência ao circuito mais curto. Ou seja, precisamos que $B$ seja o maior valor inteiro possível e, consequentemente, $A$ seja o menor valor inteiro possível.

Vamos testar os menores valores inteiros para $A$ (começando do zero) e verificar se $B$ resulta em um número inteiro:

• Se $A = 0$: $4(0) + 3B = 50 \implies 3B = 50 \implies B = \frac{50}{3} \approx 16,6$ (não serve, pois o número de voltas deve ser inteiro).

• Se $A = 1$: $4(1) + 3B = 50 \implies 3B = 46 \implies B = \frac{46}{3} \approx 15,3$ (não serve).

• Se $A = 2$: $4(2) + 3B = 50 \implies 8 + 3B = 50 \implies 3B = 42 \implies B = 14$

Encontramos uma solução válida! Com $A = 2$ e $B = 14$, o corredor percorre os $5000 \text{ m}$ dando um número inteiro de voltas. Como começamos testando os menores valores possíveis para $A$, garantimos que $B$ é o maior possível, o que maximiza o total de voltas.

A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos será: $A + B = 2 + 14 = 16 \text{ voltas}$