Questão 158 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos organizar as informações financeiras do pescador e entender como o número de ajudantes afeta a quantidade de peixes pescados, os custos e, consequentemente, o lucro.

Estruturando o Lucro

O lucro ($L$) de qualquer negócio é dado pela diferença entre a receita total ($R$), que é o dinheiro que entra, e o custo total ($C$), que é o dinheiro que sai: $L = R - C$

A receita vem da venda dos peixes. Como cada quilograma é vendido por \text{R\ } 5,00$, se o pescador pescar uma quantidade$Q$ de quilogramas, a receita será: $R = 5 \cdot Q$

O custo total é composto por três partes:

1. O custo fixo diário de \text{R\ } 900,00$.
2. O salário fixo dos ajudantes, que é de \text{R\ } 250,00$por ajudante. Se ele contratar$n$ajudantes, esse custo será$250 \cdot n$.
3. A comissão dos ajudantes, que corresponde a $4\%$ da receita total. Em termos matemáticos, isso é $0,04 \cdot R$. O fato de essa comissão ser dividida igualmente entre os ajudantes não muda o valor total que sai do bolso do pescador.

Juntando tudo isso, a expressão do custo total fica: $C = 900 + 250n + 0,04R$

Substituindo a receita e o custo na fórmula do lucro, temos: $L = R - (900 + 250n + 0,04R)$ $L = R - 0,04R - 900 - 250n$ $L = 0,96R - 900 - 250n$

O objetivo do pescador é que esse lucro seja de, no mínimo, \text{R\ } 800,00$.

A Produção de Peixes

O enunciado nos diz como a quantidade de peixes ($Q$) aumenta conforme novos ajudantes são contratados:

• Com $1$ ajudante, a pesca é de $300 \text{ kg}$.
• A partir do segundo ajudante, cada novo contratado aumenta a pesca em $100 \text{ kg}$.

Podemos então listar a produção e testar o lucro para cada quantidade de ajudantes ($n$), lembrando que a receita é $R = 5 \cdot Q$.

Para $n = 1$ ajudante:

• Produção: $Q = 300 \text{ kg}$
• Receita: $R = 5 \cdot 300 = 1500$
• Lucro: $L = 0,96 \cdot 1500 - 900 - 250 \cdot 1$
• $L = 1440 - 900 - 250 = 290$

O lucro de \text{R\ } 290,00$ ainda está longe da meta.

Para $n = 2$ ajudantes:

• Produção: $Q = 300 + 100 = 400 \text{ kg}$
• Receita: $R = 5 \cdot 400 = 2000$
• Lucro: $L = 0,96 \cdot 2000 - 900 - 250 \cdot 2$
• $L = 1920 - 900 - 500 = 520$

O lucro subiu para \text{R\ } 520,00$, mas não atingiu a meta.

Para $n = 3$ ajudantes:

• Produção: $Q = 400 + 100 = 500 \text{ kg}$
• Receita: $R = 5 \cdot 500 = 2500$
• Lucro: $L = 0,96 \cdot 2500 - 900 - 250 \cdot 3$
• $L = 2400 - 900 - 750 = 750$

O lucro de \text{R\ } 750,00$ está quase lá!

Para $n = 4$ ajudantes:

• Produção: $Q = 500 + 100 = 600 \text{ kg}$
• Receita: $R = 5 \cdot 600 = 3000$
• Lucro: $L = 0,96 \cdot 3000 - 900 - 250 \cdot 4$
• $L = 2880 - 900 - 1000 = 980$

Com $4$ ajudantes, o lucro diário passa a ser de \text{R\ } 980,00$, o que finalmente supera a meta mínima de$\text{R$ } 800,00$. Portanto, a quantidade mínima de ajudantes que ele precisa contratar é$4$.