Questão 180 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos encontrar a escala ideal que permita que a reprodução da obra caiba inteiramente na tela, ocupando a maior área possível, sem distorcer a imagem (ou seja, mantendo a proporção original).

Primeiro, vamos padronizar as unidades de medida. As dimensões da tela estão em centímetros ($20 \text{ cm}$ por $30 \text{ cm}$), enquanto as da obra original estão em metros ($3,6 \text{ m}$ por $7,8 \text{ m}$). Convertendo as medidas da obra original para centímetros, multiplicamos por $100$:

• Altura original: $3,6 \text{ m} = 360 \text{ cm}$
• Comprimento original: $7,8 \text{ m} = 780 \text{ cm}$

Agora, vamos calcular qual seria a escala necessária para que cada uma das dimensões da obra original coubesse exatamente na tela. A escala é a razão entre a medida na reprodução e a medida real.

Analisando a altura: Se quisermos que a altura da obra ocupe toda a altura da tela ($20 \text{ cm}$), a escala seria: $\text{Escala}_{\text{altura}} = \frac{20}{360} = \frac{1}{18}$ Ou seja, uma escala de $1 : 18$. No entanto, precisamos verificar se o comprimento caberia na tela com essa escala. Aplicando a escala de $1 : 18$ ao comprimento original de $780 \text{ cm}$: $\text{Comprimento na tela} = \frac{780}{18} \approx 43,3 \text{ cm}$ Como a tela tem apenas $30 \text{ cm}$ de comprimento, a pintura "vazaria" para fora da tela. Logo, essa escala não serve.

Analisando o comprimento: Se quisermos que o comprimento da obra ocupe todo o comprimento da tela ($30 \text{ cm}$), a escala seria: $\text{Escala}_{\text{comprimento}} = \frac{30}{780} = \frac{1}{26}$ Ou seja, uma escala de $1 : 26$. Vamos verificar como ficaria a altura com essa escala. Aplicando a escala de $1 : 26$ à altura original de $360 \text{ cm}$: $\text{Altura na tela} = \frac{360}{26} \approx 13,8 \text{ cm}$ Como a tela tem $20 \text{ cm}$ de altura, a reprodução com $13,8 \text{ cm}$ de altura caberá perfeitamente, sobrando um pequeno espaço em branco nas bordas superior e inferior.

Portanto, para garantir que a obra inteira caiba na tela ocupando a maior área possível, devemos usar a escala que reduz mais a imagem, que é a escala calculada para o comprimento.

A escala que deve ser empregada é $1 : 26$.