Questão 141 do ENEM 2020 — Matemática

Entendendo o problema

O problema nos diz que a capacidade do tanque está diretamente ligada ao seu volume. Como o tanque comporta $5$ peixes para cada metro cúbico ($1 \text{ m}^3$) de água, podemos descobrir o volume do tanque a partir da quantidade de peixes que ele abriga.

Calculando o raio atual do tanque

Atualmente, o tanque comporta $750$ peixes. Sabendo da proporção de $5$ peixes por metro cúbico, o volume atual ($V_1$) do tanque é: $V_1 = \frac{750}{5} = 150 \text{ m}^3$

O tanque tem o formato de um cilindro. A fórmula do volume do cilindro é dada por: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$ onde $r$ é o raio da base e $h$ é a profundidade (altura).

O enunciado nos informa que a profundidade é $h = 2 \text{ m}$ e pede para usarmos $\pi \approx 3$. Substituindo esses valores e o volume que acabamos de encontrar, podemos calcular o raio atual ($r_1$): $150 = 3 \cdot r_1^2 \cdot 2$ $150 = 6 \cdot r_1^2$ $r_1^2 = \frac{150}{6}$ $r_1^2 = 25$ $r_1 = \sqrt{25} = 5 \text{ m}$

Calculando o novo raio do tanque

O piscicultor deseja aumentar a capacidade para $900$ peixes. O novo volume ($V_2$) necessário será: $V_2 = \frac{900}{5} = 180 \text{ m}^3$

Como a profundidade do tanque não será alterada ($h = 2 \text{ m}$), vamos calcular a medida do novo raio ($r_2$): $180 = 3 \cdot r_2^2 \cdot 2$ $180 = 6 \cdot r_2^2$ $r_2^2 = \frac{180}{6}$ $r_2^2 = 30$ $r_2 = \sqrt{30} \text{ m}$

Conclusão

A questão pede o aumento da medida do raio do tanque, ou seja, a diferença entre o novo raio e o raio atual.

Portanto, o aumento deve ser de: $\Delta r = r_2 - r_1 = \sqrt{30} - 5$

Esse resultado corresponde à alternativa A.